[论文解读] Curvatures of direct image sheaves of vector bundles and applications I

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文利用基本的Hodge理论，推导出凯勒纤维丛上向量丛的直接像层的显式曲率公式，简化并推广了Berndtsson的工作。一个关键结果表明：若族是无穷小平凡的，且丛在基上是Nakano负的，则直接像为Nakano负；此外，直接像的曲率为零意味着族通过配对(X,E)的全纯自同构演化。

ABSTRACT

Let $p:\sXS$ be a proper Kähler fibration and $\sE\sX$ a Hermitian holomorphic vector bundle. As motivated by the work of Berndtsson(\cite{Berndtsson09a}), by using basic Hodge theory, we derive several general curvature formulas for the direct image $p_*(K_{\sX/S} s \sE)$ for general Hermitian holomorphic vector bundle $\sE$ in a simple way. A straightforward application is that, if the family $\sXS$ is infinitesimally trivial and Hermitian vector bundle $\sE$ is Nakano-negative along the base $S$, then the direct image $p_*(K_{\sX/S} s \sE)$ is Nakano-negative. We also use these curvature formulas to study the moduli space of projectively flat vector bundles with positive first Chern classes and obtain that, if the Chern curvature of direct image $p_*(K_{X} s E)$--of a positive projectively flat family $(E,h(t))_{t\in \mathbb D}X$--vanishes, then the curvature forms of this family are connected by holomorphic automorphisms of the pair $(X,E)$.

研究动机与目标

• 将Berndtsson对线丛直接像的曲率公式推广到任意Hermitian全纯向量丛。
• 使用基本Hodge理论而非复分析技巧，简化曲率公式的推导。
• 在纤维丛与丛的几何假设下，研究直接像层的正性与负性性质。
• 通过曲率退化分析，研究具有正第一陈类的射影平坦向量丛的模空间。
• 建立直接像曲率为零与全纯自同构存在性之间的联系，即对配对(X,E)的自同构。

提出的方法

• 在每个纤维上使用Hodge理论，将 $\nabla^{\text{'}\prime}u = dt^i \wedge \nu_i$ 和 $\nabla^{\prime\prime}u = dt^j \wedge \eta_j$ 分解，其中 $u$ 是 $p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ 的局部全纯截面。
• 定义 $v_i = -\nabla_X^{\prime} \mathbb{G}^{\prime} \pi_\perp(\nu_i)$，其中 $\mathbb{G}^{\prime}$ 是Green算子，$\pi_\perp$ 投影到调和形式的正交补空间。
• 推导曲率公式：$(\sqrt{-1}\Theta^E u, u) = c_n \int_{X_s} \sqrt{-1}\{\Theta^\mathcal{E}u,u\} - (\Delta_X^{\prime}v_i, v_j) \cdot (\sqrt{-1}dt^i \wedge d\bar{t}^j) + (\eta_i, \eta_j) \cdot (\sqrt{-1}dt^i \wedge d\bar{t}^j)$。
• 利用关系 $i_{W_i}u = -v_i$，其中 $W_i$ 是Kodaira-Spencer类 $\alpha_i$ 的对偶向量场，将曲率与形变理论联系起来。
• 假设 $\mathcal{E}_s$ 是射影平坦的，并定义 $\omega_g = \frac{1}{r} \text{Ric}(\det \mathcal{E}_s)$ 为纤维上的背景凯勒度量。
• 证明曲率为零 $\Theta^E = 0$ 意味着 $\frac{\partial v_i}{\partial \bar{t}^j} = 0$，从而存在全纯向量场 $V_i = \frac{\partial}{\partial t^i} - W_i$ 保持度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，直接像层 $p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ 是Nakano负的？
• RQ2 直接像层的曲率如何与纤维丛和丛的形变理论相关？
• RQ3 当直接像的曲率为零时，会产生何种几何后果？
• RQ4 若直接像曲率为零，射影平坦丛的族是否可通过全纯自同构连接？
• RQ5 Kodaira-Spencer类与对偶向量场 $W_i$ 如何与曲率公式相互作用？

主要发现

• 通过Hodge理论推导出，$p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ 的曲率是一个负形式，涉及丛的曲率、$v_i$ 的 $L^2$-范数和 $\eta_i$。
• 若纤维丛是无穷小平凡的，且 $\mathcal{E}$ 沿基 $S$ 是Nakano负的，则 $p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ 是Nakano负的。
• 当 $\mathcal{E}_s$ 是射影平坦的且 $\det \mathcal{E}_s$ 为正时，曲率张量满足 $\sqrt{-1}\Theta^{\mathcal{E}_s} = \omega_g \otimes h^{\mathcal{E}_s}$。
• 关系 $i_{W_i}u = -v_i$ 成立，其中 $W_i$ 是Kodaira-Spencer类 $\alpha_i$ 的对偶向量场，将曲率与形变几何联系起来。
• 曲率为零 $\Theta^E = 0$ 意味着 $\frac{\partial v_i}{\partial \bar{t}^j} = 0$，因此向量场 $V_i = \frac{\partial}{\partial t^i} - W_i$ 是全纯的且保持度量。
• 若 $\Theta^E \equiv 0$ 在 $\mathbb{D}$ 中 $0$ 的邻域内成立，则存在 $X$ 上的全纯向量场 $V$，其流 $\Phi_t \in \text{Aut}_H(X, \mathbb{E}_0)$ 满足 $\Phi_t^*\omega_t = \omega_0$。