[论文解读] Curvatures of weighted metrics on tangent sphere bundles

Rui Albuquerque|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Advanced Differential Geometry Research被引用 4

一句话总结

本文推导了黎曼流形 $M$ 的切球丛 $S_rM$ 上加权度量的曲率公式，推广了 Sasaki 度量。研究证明，对于任意具有有界截面曲率且固定半径 $r$ 的 $M$，当水平度量系数 $f_1$ 足够大或竖直系数 $f_2$ 足够小时，$S_rM$ 上可实现正数量曲率，从而将此前关于切球丛数量曲率正性的结果推广至更广泛的加权度量类。

ABSTRACT

We determine the curvature equations of natural metrics on tangent bundles and radius r tangent sphere bundles S_rM of a Riemannian manifold M. A family of positive scalar curvature metrics on S_rM is found, for any M with bounded sectional curvature and any chosen constant r.

研究动机与目标

• 推广自然度量在切丛及半径为 $r$ 的切球丛 $S_rM$ 上的曲率公式。
• 研究 $S_rM$ 具备正数量曲率度量的条件。
• 将已知的关于切球丛数量曲率正性的结果推广至更广泛的加权度量类。
• 为理解四维流形上广义扭量丛在 $S_1M$ 上的主从群与几何结构，提供基础的曲率计算。

提出的方法

• 在 $TM$ 上使用一族加权度量 $g^{f_1,f_2} = f_1 \pi^*g \oplus f_2 \pi^*g$，其中 $f_1 = e^{2\varphi_1}$，$f_2 = e^{2\varphi_2}$，且 $\varphi_1, \varphi_2$ 为 $M$ 上的函数。
• 通过引入包含曲率项 $A$、$B$ 和 $\nabla^*_{X}Y^v$ 的修正联络 $\nabla^G$，应用加权度量的 Levi-Civita 联络。
• 利用高斯公式将 $S_rM$ 的曲率与周围切丛 $TM$ 的曲率关联，通过第二基本形式考虑法曲率。
• 利用周围曲率与诱导度量结构，推导 $S_rM$ 的 Ricci 曲率与数量曲率的显式表达式。
• 利用张量 $\mathcal{R}^\xi(X,Y) = \pi^*R^\nabla(X,Y)\xi$ 及其协变导数计算曲率分量。
• 应用高斯方程，计算 $S_rM$ 与周围度量 $g^{f_1,f_2}$ 的 Ricci 曲率与数量曲率之差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种度量系数 $f_1$ 与 $f_2$ 条件下，切球丛 $S_rM$ 具备正数量曲率度量？
• RQ2 加权度量在 $TM$ 上的曲率公式如何推广至子流形 $S_rM$？
• RQ3 对于任意具有有界截面曲率的黎曼流形 $M$，是否总能使 $S_rM$ 的数量曲率为正？
• RQ4 函数 $\varphi_2$ 在控制 $S_rM$ 的数量曲率中起何作用？
• RQ5 如何依赖半径 $r$ 与加权度量的选择，$S_rM$ 的曲率发生变化？

主要发现

• 对于任意具有有界截面曲率且固定半径 $r$ 的黎曼流形 $M$，当 $f_1$ 足够大或 $f_2$ 足够小时，切球丛 $S_rM$ 具备正数量曲率度量。
• 在 $S_rM$ 上，数量曲率为 $\tilde{S}^G = S^G + \frac{(n-1)n}{f_2 r^2}$，其中 $S^G$ 为 $TM$ 上周围度量的数量曲率，且 $n = \dim M - 1$。
• 在 $S_rM$ 上，Ricci 曲率满足 $\tilde{\mathrm{ric}}^G = \mathrm{ric}^G + \frac{n-1}{r^2}g|_{V \otimes V}$，表明来自球纤维的校正项。
• 对于曲面（$\dim M = 2$），在加权度量下，$TM$ 与 $S_rM$ 的 Ricci 曲率与数量曲率相同。
• 当 $f_1$ 为常数且 $f_2 = e^{2\varphi_2}$ 时，曲率公式依赖于 $\varphi_2$ 的协变导数与流形 $M$ 的曲率张量。
• 该结果推广了文献 [6] 中的定理 1.2，确认在小 $r$ 时数量曲率为正，并将其扩展至更广泛的加权度量类。