[论文解读] Curve counting theories via stable objects II: DT/ncDT flop formula

Yukinobu Toda|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 12

一句话总结

本文通过范畴方法，建立了光滑射影卡拉比-丘3-流形在翻转（flop）下唐纳森-托马斯（DT）不变量的变换公式。通过在导出范畴和稳定性条件的框架下，将非交换DT不变量推广至任意翻转收缩，证明了翻转后侧的DT不变量生成系列与原始侧通过墙穿跃公式相关联，从而将Szendrői的局部例子推广至全局框架。

ABSTRACT

The goal of the present paper is to show the transformation formula of Donaldson-Thomas invariants on smooth projective Calabi-Yau 3-folds under birational transformations via categorical method. We also generalize the non-commutative Donaldson-Thomas invariants, introduced by B. Szendr{\H o}i in a local $(-1, -1)$-curve example, to an arbitrary flopping contraction from a smooth projective Calabi-Yau 3-fold. The transformation formula between such invariants and the usual Donaldson-Thomas invariants are also established. These formulas will be deduced from the wall-crossing formula in the space of weak stability conditions on the derived category.

研究动机与目标

• 通过范畴方法，推导卡拉比-丘3-流形在双有理变换下的DT不变量变换公式。
• 将Szendrői对局部$(-1,-1)$-曲线的非交换DT不变量推广至光滑射影卡拉比-丘3-流形的任意翻转收缩。
• 建立$X$与$X^+$上全局DT不变量与非交换概形$(Y, A_Y)$上广义非交换DT不变量之间的精确关系。
• 通过翻转下的DT不变量，为MNOP猜想关于格罗莫夫-威滕不变量的预测提供全局范畴解释。

提出的方法

• 利用导出范畴$D^b(\text{Coh}(X))$上的弱稳定性条件空间，分析不变量的墙穿跃行为。
• 应用Joyce与Song及Kontsevich与Soibelman的墙穿跃公式，推导DT不变量生成系列的变换规律。
• 利用Bridgeland的导出等价$\Phi: D^b(\text{Coh}(X^+)) \xrightarrow{\sim} D^b(\text{Coh}(X))$，该等价由翻转诱导。
• 通过Van den Bergh的导出等价$\Psi: D^b(\text{Coh}(A_Y)) \xrightarrow{\sim} D^b(\text{Coh}(X))$构造非交换DT不变量，用于翻转收缩$f: X \to Y$，推广Szendrői的局部例子。
• 在非交换概形$\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y$上定义伪理想层$I_n(\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y, \beta)$的模空间，以定义全局ncDT不变量。
• 利用Behrend的局部微函数与虚拟基本周期，将DT不变量定义为在虚拟周期上的积分，确保与虚拟维数为零的性质一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑射影卡拉比-丘3-流形之间的翻转下，DT不变量如何变换？这一变换能否通过范畴方法捕捉？
• RQ2 Szendrői对局部$(-1,-1)$-曲线的非交换DT不变量能否推广至卡拉比-丘3-流形的任意翻转？
• RQ3 在$X$与$X^+$上的DT不变量生成系列与非交换概形$(Y, A_Y)$上的非交换DT不变量之间，存在何种精确关系？
• RQ4 在弱稳定性条件空间中的墙穿跃公式，是否能导出在双有理映射下DT生成系列的全局变换律？

主要发现

• 在$X$与$X^+$上的DT不变量生成系列通过$(Y, A_Y)$上的非交换DT不变量关联，公式为$\frac{\mathop{\rm DT}\nolimits(X)}{\mathop{\rm DT}\nolimits(X/Y)} = \frac{\mathop{\rm DT}\nolimits(\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y)}{\mathop{\rm DT}\nolimits_0(\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y)}$，其中$\mathop{\rm DT}\nolimits(X/Y)$为约化系列。
• 公式$\mathop{\rm DT}\nolimits(X/Y) = i \circ \phi_* \mathop{\rm DT}\nolimits(X^+/Y)$成立，表明约化系列在模空间上的诱导映射下发生变换。
• 该公式的欧拉特征版本在不假设猜想4.3的前提下被严格建立，具有数学上的严谨性。
• 广义非交换DT不变量$\mathop{{}^{p}A}\nolimits_{n,\beta}$通过在$\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y$上伪理想层模空间上的虚拟积分定义，扩展了Szendrői的局部构造。
• 导出等价$\mathop{{}^{p}\Phi}\nolimits: D^b(\text{Coh}(X)) \xrightarrow{\sim} D^b(\text{Coh}(\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y))$诱导了伪心层$\mathop{{}^{p}}\!\rm{Per}(X/Y)$与$\text{Coh}(\mathop{{}^{p}A}\nolimits_Y)$之间的等价，从而支持不变量的构造。
• 该结果被推广至更广泛的映射类$f: X \to Y$，其中$f$不一定是余维数一的同构，只要求$\dim f^{-1}(y) \leq 1$，表明该框架具有强健性。