[论文解读] Curved A-infinity algebras and Landau-Ginzburg models

Andrei Căldăraru, Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 21

一句话总结

本文为朗道-金兹堡模型中出现的弯曲A-infinity代数引入了修正的Hochschild同调与上同调理论——Borel-Moore Hochschild同调与紧支集Hochschild上同调。这些不变量恢复了雅可比环及其对偶，与物理预测一致，并建立了奥尔洛夫CY/LG对偶性背后的dg层等价性。

ABSTRACT

We study the Hochschild homology and cohomology of curved A-infinity algebras that arise in the study of Landau-Ginzburg (LG) models in physics. We show that the ordinary Hochschild homology and cohomology of these algebras vanish. To correct this we introduce modified versions of these theories, Borel-Moore Hochschild homology and compactly supported Hochschild cohomology. For LG models the new invariants yield the answer predicted by physics, shifts of the Jacobian ring. We also study the relationship between graded LG models and the geometry of hypersurfaces. We prove that Orlov's derived equivalence descends from an equivalence at the differential graded level, so in particular the CY/LG correspondence is a dg equivalence. This leads us to study the equivariant Hochschild homology of orbifold LG models. The results we get can be seen as noncommutative analogues of the Lefschetz hyperplane and Griffiths transversality theorems.

研究动机与目标

• 解决普通Hochschild同调与上同调在朗道-金兹堡模型中出现的弯曲A-infinity代数中无法检测有意义不变量的问题。
• 定义新的不变量——Borel-Moore Hochschild同调与紧支集Hochschild上同调——使其对这些代数具有非平凡性与物理意义。
• 证明这些新不变量在矩阵因子化背景下计算雅可比环及其对偶。
• 证明奥尔洛夫关于卡拉比-丘与朗道-金兹堡范畴之间的导出等价性可提升至微分graded层的拟等价性。
• 通过等变Hochschild不变量将这些结果推广至轨道朗道-金兹堡模型，得到经典代数几何定理的非交换类比。

提出的方法

• 将Borel-Moore Hochschild同调定义为Hochschild链的直接积版本，取代通常的直接和。
• 通过使用cochains的直和而非积来定义紧支集Hochschild上同调，确保其与弯曲代数的兼容性。
• 证明弯曲A-infinity代数A的紧支集型不变量与其扭曲复形范畴Tw(A)的不变量一致，从而简化计算。
• 利用Segal的论证方法，证明Tw(B_W)的紧支集型不变量与B_W的不变量同构，从而可通过弯曲代数进行计算。
• 建立矩阵因子化导出范畴与预三角范畴dg商之间的dg层等价性，从而提升奥尔洛夫的导出等价性。
• 通过研究轨道朗道-金兹堡模型的等变Hochschild同调，将理论应用于轨道模型，得到Lefschetz超平面定理与Griffiths横截性定理的非交换类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标准Hochschild同调与上同调在朗道-金兹堡模型中的弯曲A-infinity代数中恒为零？
• RQ2 能否定义修正的Hochschild不变量，使其在物理模型中恢复雅可比环及其对偶？
• RQ3 奥尔洛夫关于卡拉比-丘与朗道-金兹堡范畴之间的导出等价性是否可提升至微分graded层的拟等价性？
• RQ4 dg商与半正交分解在理解矩阵因子化范畴结构中扮演何种角色？
• RQ5 轨道朗道-金兹堡模型的等变Hochschild同调能否产生经典代数几何定理的非交换类比？

主要发现

• 弯曲A-infinity代数的普通Hochschild同调与上同调恒为零，因此在物理模型中无用。
• Borel-Moore Hochschild同调与紧支集Hochschild上同调产生非平凡不变量：$ H\text{H}^{\text{BM}}_*(B_W) = ω(W)[n] $ 与 $ H\text{H}^*_c(B_W) = \text{Jac}(W)[0] $，与物理预测一致。
• $ \text{Tw}(B_W) $，即矩阵因子化范畴的紧支集型不变量，与$ B_W $的不变量同构，从而可通过弯曲代数进行计算。
• 奥尔洛夫关于矩阵因子化导出范畴与超曲面导出范畴之间的导出等价性，可提升为dg范畴之间的拟等价性。
• 轨道朗道-金兹堡模型的等变Hochschild同调产生Lefschetz超平面定理与Griffiths横截性定理的非交换类比。
• 当$ \mathscr{E} $为可接受时，dg商构造$ \mathscr{D}/\mathscr{E} $与右正交补$ \mathscr{E}^\perp $拟等价，将经典三角范畴结果推广至dg设定。