[论文解读] Curves of genus 2 with group of automorphisms isomorphic to D_8 or D_12

Gabriel Cardona, Jordi Quer|ArXiv.org|Mar 17, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 6

一句话总结

该论文通过模空间 M₂ 的一个一维子簇的 k-有理点，对特征 ≠ 2（且对 D₁₂ 特别地 ≠ 2,3）的完美域上的亏格 2 曲线，按自同构群 D₈ 或 D₁₂ 进行分类。它利用伽罗瓦上同调 H¹(Gₖ, Aut(C)) 计算了所有 k-扭化，提供了依赖于域参数的通用双椭圆模型，并表明在 ℚ 上，此类曲线的椭圆商恰好是度数为 2（对 D₈）和 3（对 D₁₂）的 ℚ-曲线，且当绝对不变量满足特定上同调条件时，其雅可比簇恰好为 GL₂-型。

ABSTRACT

In this paper we classify curves of genus 2 with group of automorphisms isomorphic to D_8 or D_12 over an arbitrary field k (of characteristic different from 2 in the D_8 case and from 2 and 3 in the D_{12} case) up to k-isomorphism. As an application of the classification of curves of genus 2 obtained, we get precise arithmetic information on their elliptic quotients and on their jacobians. Over the field k=Q, we show that the elliptic quotients of the curves with automorphisms D_8 and D_{12} are precisely the Q-curves of degrees 2 and 3, respectively, and we determine which curves have jacobians of GL_2-type.

研究动机与目标

• 对定义在完美域 k 上的亏格 2 曲线进行分类，其自同构群同构于 D₈ 或 D₁₂，扩展此前在代数闭域上的分类结果。
• 通过模空间 M₂ 的一个一维拟仿射子簇的 k-有理点，对这类曲线的 k-同构类进行参数化。
• 通过显式确定伽罗瓦上同调集 H¹(Gₖ, Aut(C))，计算每条曲线的所有 k-扭化。
• 提供显式的双椭圆模型及 GL₂(k̄) 中自同构群的矩阵表示，以支持具体的算术研究。
• 确定在 ℚ 上哪些此类曲线的雅可比簇为 GL₂-型，并将它们的椭圆商识别为度数为 2 或 3 的 ℚ-曲线。

提出的方法

• 通过模空间 M₂ 的一个拟仿射一维子簇的 k-有理点，对具有 D₈ 或 D₁₂ 自同构群的亏格 2 曲线的 k-同构类进行参数化。
• 将自同构群表示为 GL₂(k̄) 的子群，并利用伽罗瓦下降法对 k-结构进行分类。
• 通过计算伽罗瓦上同调集 H¹(Gₖ, Aut(C)) 来对每条曲线的所有 k-扭化进行分类，利用 H¹(Gₖ, GL₂(k̄)) 为平凡的事实。
• 利用涉及约化自同构群 A′ = Aut(C)/⟨ι⟩ 和双椭圆对合 ι 的上同调长正合列，分析 H¹(Gₖ, Aut(C)) 的结构。
• 构造显式的双椭圆模型 Y² = F(X)，其定义在 k 上，依赖于参数，以实现所有 k-同构类。
• 应用限制标量的普遍性质及上同调准则（例如，通过 Br₂(ℚ) 中的 (h,2) 和 (w,−1) 类）分析雅可比簇与椭圆商。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 ≠ 2,3 的完美域 k 上，哪些亏格 2 曲线的自同构群同构于 D₈ 或 D₁₂？它们如何在 k 上参数化？
• RQ2 如何通过伽罗瓦上同调 H¹(Gₖ, Aut(C)) 显式计算这些曲线的所有 k-扭化？
• RQ3 在 ℚ 上，哪些此类曲线的雅可比簇为 GL₂-型？其椭圆商的算术结构如何？
• RQ4 这些曲线的椭圆商与 ℚ-曲线有何关联？其度数是多少？
• RQ5 为何某些域如 K(√−2) 即使在上同调条件看似满足时，也不会出现在 D₈-曲线在 ℚ 上的雅可比簇的自同态域中？

主要发现

• 对任意定义在 k 上的曲线 C/k 满足 Aut(C) ≅ D₈ 或 D₁₂，其 k-同构类由 M₂ 的一个一维拟仿射子簇的 k-有理点参数化。
• 所有此类曲线的 k-扭化均通过上同调集 H¹(Gₖ, Aut(C)) 计算得出，且该集合的结构通过涉及 A′ 和 ⟨ι⟩ 的长正合列进行分析。
• 在 ℚ 上，自同构群满足 Aut(C) ≅ D₈ 的曲线的椭圆商恰好是度数为 2 的 ℚ-曲线，而满足 Aut(C) ≅ D₁₂ 的曲线的椭圆商恰好是度数为 3 的 ℚ-曲线。
• 在 ℚ 上，此类曲线的雅可比簇为 GL₂-型，当且仅当绝对不变量 t 满足 (t, −2) = 1，且 Aut(C) 上的伽罗瓦作用为 C₄ 型。
• 对定义在四次域 K 上的椭圆曲线 E，其限制标量 Res_{K/ℚ}(E) 在 ℚ 上模同源性地分解为两个非同源的 GL₂-型阿贝尔曲面的乘积，其自同态环为 ℚ(√−1) 或 ℚ(√−3)。
• 域 K(√−2) 不会出现在 ℚ 上 D₈-曲线的雅可比簇的自同态域中，因为对应的 2-上链不属于 Ext(K/ℚ, {±1})，从而阻止了 GL₂-型因子的存在。