[论文解读] Curves of genus 2 with sqrt2 multiplication

Peter R. Bending|ArXiv.org|Nov 23, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文構造了一個通用的2階曲線族，其雅可比簇在羅薩蒂對合下不變，並具有由√2生成的實乘法。文章建立了這些雅可比簇之間的同源關係，並探討了與四元數代數的聯繫，在數域上阿貝爾簇的框架下提供了明確的構造與結構結果。

ABSTRACT

In this paper, we give a universal family of curves of genus 2 whose jacobians have $\sqrt2$ multiplication fixed by the Rosati involution, and several results based on it, including isogenies between jacobians of curves, and jacobians of curves with quaternionic multiplication.

研究动机与目标

• 構造一個通用的2階曲線族，其雅可比簇具有由√2生成的實乘法。
• 分析羅薩蒂對合在這些雅可比簇的自同態代數上的作用。
• 建立此類曲線的雅可比簇之間的同源關係。
• 探討具有√2乘法的曲線與具有四元數乘法的曲線之間的聯繫。
• 在數域上阿貝爾簇的框架內，提供明確的代數與幾何構造。

提出的方法

• 在具有指定自同態代數的函數域上構造一個單參數的2階曲線族。
• 利用極化工藝阿貝爾簇與羅薩蒂對合的理論，固定√2在自同態環上的作用。
• 採用模形式理論技術來參數化具有√2乘法的曲線。
• 分析內侖-塔特高度與極化類型，以驗證實乘法的存在性。
• 應用同源理論，將具有√2乘法的曲線的雅可比簇與具有四元數乘法的雅可比簇聯繫起來。
• 利用代數數論研究自同態環的結構及其與極化的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有√2乘法的2階曲線的雅可比簇的自同態代數結構為何？
• RQ2 在√2乘法的情形下，羅薩蒂對合如何作用於自同態代數？
• RQ3 是否能明確構造出具有√2乘法的2階曲線的雅可比簇之間的同源？
• RQ4 在何種條件下，具有√2乘法的雅可比簇也具有四元數乘法？
• RQ5 具有√2乘法的2階曲線的模空間為何？其參數化方式為何？

主要发现

• 在函數域上明確構造了一個具有√2乘法的2階曲線通用族。
• 證明了這些曲線的雅可比簇的自同態環包含Z[√2]，且羅薩蒂對合固定√2。
• 建立了此類曲線的雅可比簇之間的同源關係，顯示它們在阿貝爾簇範疇中的相互關聯。
• 論文識別出這些雅可比簇也具有四元數乘法的條件，從而連結了兩類重要的阿貝爾簇。
• 該構造提供了在極化與模結構相容下，2階曲線中實乘法的具體例子。
• 研究成果促進了在數域上具有實乘法的阿貝爾簇的分類，特別是在2階曲線的背景下。