[论文解读] Cusped spaces and quasi-isometries of relatively hyperbolic groups

Brendan Burns Healy, G. Christopher Hruska|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用 5

一句话总结

该论文证明，当配备具有恒定水平球面畸变的尖点空间时，相对双曲群在其Bowditch边界上具有规范的拟对称结构。论文证明，此类空间彼此之间为拟等距当且仅当该群是负曲率对称空间中的晶格，并通过δ-双曲空间中理想三角形对锥形极限点给出了刻画。

ABSTRACT

A group $Γ$ with a family of subgroups $\mathbb{P}$ is relatively hyperbolic if $Γ$ admits a cusp-uniform action on a proper $δ$--hyperbolic space. We show that any two such spaces for a given group pair are quasi-isometric, provided the spaces have "constant horospherical distortion," a condition satisfied by Groves--Manning's cusped Cayley graph and by all negatively curved symmetric spaces. Consequently the Bowditch boundary admits a canonical quasisymmetric structure, which coincides with the "naturally occurring" quasisymmetric structure of the symmetric space when considering lattices in rank one symmetric spaces. We show that a group $Γ$ is a lattice in a negatively curved symmetric space $X$ if and only if a cusped space for $Γ$ is quasi-isometric to the symmetric space. We also prove an ideal triangle characterization of the $δ$--hyperbolic spaces with uniformly perfect boundary due to Meyer and Bourdon--Kleiner. An appendix concerns the equivalence of several definitions of conical limit point found in the literature.

研究动机与目标

• 确定一个几何条件——恒定水平球面畸变——以确保相对双曲群的尖点空间具有拟等距不变性。
• 证明该条件在Groves–Manning的尖点Cayley图和所有负曲率对称空间中成立，从而在Bowditch边界上自然地赋予其拟对称结构。
• 将秩一对称空间中的晶格刻画为那些其尖点空间与对称空间拟等距的相对双曲群。
• 通过δ-双曲空间中具有一致完备边界的理想三角形，对锥形极限点提供刻画。
• 统一并证明关于锥形极限点的若干文献中的经典定理，特别是与收敛群作用和δ-双曲空间上的拟作用相关的定理。

提出的方法

• 引入尖点空间的概念，即每一切向抛物水平球体具有恒定水平球面畸变的弱尖点空间，其定义基于具有相同底数的统一指数畸变界。
• 利用恒定水平球面畸变的拟等距不变性，证明给定相对双曲对的任意两个此类尖点空间彼此之间为拟等距。
• 应用三重空间构造 $Θ(∂X) = ⌈(∂X)^3 \setminus \{\text{非互异三元组}\}$，通过投影 $\pi$ 将边界动力学与 $X$ 中的几何联系起来。
• 利用Ahlfors–Cheeger构造的 $\pi$，将到测地线的有界距离与拟作用下的锥形极限点行为联系起来。
• 利用 $\pi$ 在拟等距下的拟等变性，将边界收敛性与 $X$ 中的内在几何联系起来。
• 证明点 $\zeta \in \partial X$ 是锥形极限点，当且仅当存在一列 $g_i$，使得 $\pi(g_i(\xi_0,\xi_1,\xi_2)) \to \zeta$，且对于趋于 $\zeta$ 的测地线 $c$，有 $d(\pi(g_i(\xi_0,\xi_1,\xi_2)), c)$ 有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在尖点空间的何种几何条件下，相对双曲群的Bowditch边界会具有规范的拟对称结构？
• RQ2 在何种条件下，相对双曲群的尖点空间与负曲率对称空间拟等距？
• RQ3 如何通过δ-双曲空间中理想三角形的几何来刻画具有统一完备边界的δ-双曲空间中的锥形极限点？
• RQ4 文献中关于锥形极限点的不同定义之间有何关系？它们是否等价？
• RQ5 恒定水平球面畸变在多大程度上保证了尖点空间的拟等距稳定性？

主要发现

• 对于相对双曲群对 $(\Gamma, \mathbb{P})$，任意两个具有恒定水平球面畸变的尖点空间彼此之间为拟等距。
• 当尖点空间具有恒定水平球面畸变时，相对双曲群的Bowditch边界具有规范的拟对称结构。
• 群 $\Gamma$ 是秩一对称空间 $X$ 中的晶格，当且仅当 $\Gamma$ 的尖点空间与 $X$ 拟等距。
• 所有负曲率对称空间中的水平球体均具有恒定水平球面畸变，此事实在此处明确指出，而此前在Schwartz（1995）中为隐含事实。
• 点 $\zeta \in \partial X$ 是锥形极限点，当且仅当存在一列 $g_i$，使得 $\pi(g_i(\xi_0,\xi_1,\xi_2)) \to \zeta$，且对于趋于 $\zeta$ 的测地线 $c$，有 $d(\pi(g_i(\xi_0,\xi_1,\xi_2)), c)$ 一致有界。
• 通过三重空间和投影 $\pi$，建立了各种锥形极限点定义（特别是基于收敛群作用和拟作用的定义）之间的等价性。