[论文解读] Cuspidal irreducible representations of quaternionic forms of p-adic classical groups for odd p

Daniel Skodlerack|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用 2

一句话总结

该论文对奇素数 p 的 p 进经典群的四元数形式的所有尖点不可约复表示进行了分类。它通过证明每个此类表示均可通过从一个尖点类型诱导得到（该类型由 beta-扩张和有限群的尖点表示构造而成），并证明互作用的类型在群作用下共轭，从而将经典 p 进群的分类结果推广至四元数形式。

ABSTRACT

Given a quaternionic form G of a p-adic classical group ($p$ odd) we classify all cuspidal irreducible complex representations of G. It is a straight forward generalization of the classification in the p-adic classical group case. We prove two theorems: At first: Every irreducible cuspidal representation of G is induced from a cuspidal type, i.e. from a certain irreducible representation of a compact open subgroup of G, constructed from a beta-extension and a cuspidal representation of a finite group. Secondly we show that two intertwining cuspidal types of G are up to equivalence conjugate under some element of G.

研究动机与目标

• 将奇素数 p 时 p 进经典群的尖点不可约表示分类推广至其四元数形式。
• 建立四元数形式的群的每个不可约尖点表示均可通过从尖点类型诱导得到。
• 证明对于此类群，任意两个互作用的尖点类型在群 G 内共轭。
• 将类型理论和 beta-扩张理论推广至经典群的四元数形式设置。

提出的方法

• 在四元数形式 G 的紧致开子群上构造尖点类型作为不可约表示。
• 使用 beta-扩张将表示从有限约化商群提升至紧致开子群。
• 将 beta-扩张与有限群的尖点表示结合，形成完整的尖点类型。
• 应用诱导方法，从这些尖点类型构造 G 的不可约尖点表示。
• 使用群论论证，证明互作用的尖点类型在 G 内共轭。
• 利用 p 进经典群及其四元数形式的结构，将经典情形下的已知结果推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将奇素数 p 时 p 进经典群的尖点不可约表示分类推广至其四元数形式？
• RQ2 在 p 进经典群的四元数形式背景下，尖点类型的精确构造是什么？
• RQ3 在何种条件下，此类群的两个互作用尖点类型在群 G 内共轭？
• RQ4 beta-扩张与有限群的尖点表示如何结合，以形成尖点类型的完整参数化？

主要发现

• 对于奇素数 p 的 p 进经典群的四元数形式 G，其每个不可约尖点表示均可通过从尖点类型诱导得到。
• 尖点类型是作为 G 的紧致开子群的表示构造的，结合了 beta-扩张和有限群的尖点表示。
• 任意两个互作用的尖点类型在 G 的某个元素作用下共轭，从而保证了其在共轭意义下的唯一性。
• 四元数形式的尖点表示分类推广了经典 p 进群情形下的已知分类。
• 群的结构及其紧致开子群允许通过 beta-扩张和有限群表示对类型进行统一处理。
• 结果在类型参数化的基础上，完整刻画了尖点不可约表示，将理论推广至非分裂形式。