[论文解读] Customer Equilibrium and Optimal Strategies in an M/M/1 Queue with Dynamic Service Control

Yiannis Dimitrakopoulos, Apostolos Burnetas|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文研究了在动态服务控制下的不可观测 M/M/1 队列中顾客的均衡策略，其中当拥塞超过阈值时服务速率会提高。研究发现，由于正负外部性的共同作用，可能存在多个均衡；并证明了社会最优到达率始终小于或等于任意均衡到达率，且在参数变化下最多可能存在三个均衡。

ABSTRACT

We consider the problem of customer equilibrium strategies in an M/M/1 queue under dynamic service control. The service rate switches between a low and a high value depending on system congestion. Arriving customers do not observe the system state at the moment of arrival. We show that due to service rate variation, the customer equilibrium strategy is not generally unique, and derive an upper bound on the number of possible equilibria. For the problem of social welfare optimization, we numerically analyze the relationship between the optimal arrival rate, which maximizes the overall welfare of the customers, and the equilibrium ones as a function of various parameter values. We finally derive analytic solutions for the special case where the service rate switch occurs when the queue ceases to be empty.

研究动机与目标

• 分析在部分信息下，服务速率根据拥塞情况在低和高之间切换的 M/M/1 队列中顾客的均衡策略。
• 研究动态服务控制如何影响顾客均衡的存在性与唯一性。
• 在相同策略下，比较由自私顾客行为产生的均衡到达率与社会最优到达率。
• 确定正外部性或负外部性占主导时的条件，从而导致‘随大流’或‘避开人群’的行为。

提出的方法

• 建立基于阈值的服务速率策略的 M/M/1 队列模型：当队列长度 ≤ T 时为低速率，当 > T 时为高速率。
• 假设顾客在到达时无法观测系统状态，但了解服务策略，因此进行不可观测均衡分析。
• 推导出等待时间的期望值和社会福利函数，作为到达率 λ 的函数，结合双速率动态机制。
• 利用随机过程分析与均衡特征刻画，识别出存在多个均衡的条件，最多可能有三个均衡。
• 通过数值分析与解析证明，比较不同参数区域下最优与均衡到达率的差异。
• 证明在某些区域内社会福利函数为严格凹函数，从而保证最优策略的唯一性，并可与均衡策略进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，动态服务控制策略会导致不可观测 M/M/1 队列中出现多个顾客均衡？
• RQ2 当服务速率依赖于拥塞程度时，正负外部性如何相互作用，进而影响顾客的加入行为？
• RQ3 社会最优到达率与自私顾客行为下产生的均衡到达率之间存在何种关系？
• RQ4 社会最优到达率是否总是小于或等于所有均衡到达率？该关系在何种参数条件下成立？

主要发现

• 顾客均衡策略通常不唯一；由于正负外部性的相互作用，最多可能存在三个不同的均衡。
• 当低服务速率 μₗ > 1/2 时，社会福利函数严格凹，确保社会最优到达率 λ* 唯一。
• 当 μₗ ≤ 1/R 时，唯一均衡为 λᵉ = 0，且最优率 λ* 也为 0，因此 λ* ≤ λᵉ 显然成立。
• 在 μₗ < 1/2 的情况下，特别是当 μₗ = 1 - R/4 时，社会福利函数在 (λ₀ᵉ, 1) 区间内递减且为凹函数，意味着 λ* ≤ λ₀ᵉ。
• 当 1 - R/4 < μₗ < 1/2 时，社会福利函数在 (λ₁ᵉ, 1) 区间内仍保持递减且为凹函数，因此对稳定正均衡有 λ* ≤ λ₁ᵉ。
• 在所有参数区域中，社会最优到达率 λ* 均小于或等于任意正均衡到达率 λᵉ，表明自私行为导致的加入人数超过社会最优水平。