[论文解读] CUT-OFF PHENOMENON FOR STOCHASTIC SMALL PERTURBATIONS OF M-DIMENSIONAL DYNAMICAL SYSTEMS

Gerardo Barrera, Milton Jara|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文研究了在小布朗运动扰动下的 m 维随机动力系统中的截断现象。在合适的向量场条件下，证明了该扰动 SDE 家族在总变差距离下表现出轮廓截断，表明随着噪声方差减小，系统出现向平衡态的急剧转变。

ABSTRACT

We study the cut-off phenomenon for a family of stochastic small perturba- tions of a m-dimensional dynamical system. We will focus in a semiflow of a deterministic differential equation which is perturbed by a Brownian motion of small variance. Under suitable hypothesis on the vector field we will prove that the family of perturbed sto- chastic differential equations present a profile cut-off phenomenon with respect to the total variation distance.

研究动机与目标

• 分析 m 维动力系统中小随机扰动的收敛行为。
• 研究此类扰动是否在总变差距离下表现出截断现象。
• 建立向量场的条件，以确保轮廓截断的出现。
• 刻画噪声方差趋于零时向平衡态的急剧转变。

提出的方法

• 将系统建模为由小方差布朗运动驱动的随机微分方程（SDE）。
• 将底层确定性微分方程的半流作为基底动力系统进行分析。
• 应用大偏差理论和弗雷德林-温茨ell理论研究首次 hitting 时间与收敛行为。
• 使用耦合技术与比较原理，估计扰动过程与平衡态之间的总变差距离。
• 建立向量场的条件，以确保收敛速率的急剧转变。
• 通过证明收敛在狭窄时间窗内突然发生，证明轮廓截断的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 m 维动力系统的小随机扰动族是否在总变差距离下表现出截断现象？
• RQ2 向量场的何种结构性条件可确保轮廓截断的出现？
• RQ3 当噪声方差趋于零时，向平衡态的收敛行为如何？
• RQ4 该向平衡态的转变是否可被刻画为在不同初始条件下均具有尖锐性与普适性？
• RQ5 确定性系统的半流结构在截断现象出现过程中起到何种作用？

主要发现

• 在合适的向量场条件下，扰动 SDE 家族在总变差距离下表现出轮廓截断现象。
• 截断现象突然发生，表明随着噪声方差减小，系统出现向平衡态的急剧转变。
• 在所述假设下，收敛轮廓具有普适性，与初始条件无关。
• 截断时间由底层确定性半流的动力学决定。
• 随着噪声减小，总变差距离在趋于零的时间窗内从接近 1 急剧下降至接近 0。
• 结果将截断现象扩展至一大类具有小噪声的 m 维随机动力系统。