[论文解读] Cut Sparsification of the Clique Beyond the Ramanujan Bound.

Antares Chen, Jonathan Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2020

Graph theory and applications被引用 1

一句话总结

该论文证明了随机 $d$-正则图是团图的割边稀疏化近似，其近似误差至多为 $(2\sqrt{2/\pi} + o_{n,d}(1))/\sqrt{d} \approx 1.595/\sqrt{d}$，而相同平均度数的谱稀疏化近似则至少需要 $(2 - o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$ 的误差，从而在拉马努金界之外揭示了割边稀疏化与谱稀疏化之间的一个根本性差异。

ABSTRACT

We prove that a random $d$-regular graph, with high probability, is a cut sparsifier of the clique with approximation error at most $\left(2\sqrt{\frac 2 \pi} + o_{n,d}(1) ight)/\sqrt d$, where $2\sqrt{\frac 2 \pi} = 1.595\ldots$ and $o_{n,d}(1)$ denotes an error term that depends on $n$ and $d$ and goes to zero if we first take the limit $n ightarrow \infty$ and then the limit $d ightarrow \infty$. This is established by analyzing linear-size cuts using techniques of Jagannath and Sen \cite{jagannath2017unbalanced} derived from ideas from statistical physics and analyzing small cuts via martingale inequalities. We also prove that every spectral sparsifier of the clique having average degree $d$ and a certain high pseudo-girth property has an approximation error that is at least the $(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$, which is met by $d$-regular Ramanujan graphs, generalizing a lower bound of Srivastava and Trevisan \cite{ST18}. Together, these results imply a separation between spectral sparsification and cut sparsification. If $G$ is a random $\log n$-regular graph on $n$ vertices, we show that, with high probability, $G$ admits a (weighted subgraph) cut sparsifier of average degree $d$ and approximation error at most $(1.595\ldots + o_{n,d}(1))/\sqrt d$, while every (weighted subgraph) spectral sparsifier of $G$ having average degree $d$ has approximation error at least $(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$.

研究动机与目标

• 研究完全图（团）的割边稀疏化近似误差在平均度数 $d$ 下的表现。
• 分析随机 $d$-正则图作为团图的割边稀疏化近似的表现，特别是在高概率情形下。
• 为具有高伪圈长的团图的谱稀疏化近似建立近似误差的下界，推广先前的结果。
• 通过比较两者的最小可实现近似误差，证明割边稀疏化与谱稀疏化之间存在分离。

提出的方法

• 利用 Jagannath 和 Sen（2017）的方法，源自统计物理，分析随机 $d$-正则图中的线性规模割边。
• 应用鞅不等式来控制随机 $d$-正则图中小型割边的集中性。
• 推导出随机 $d$-正则图的割边稀疏化误差的上界为 $\left(2\sqrt{2/\pi} + o_{n,d}(1)\right)/\sqrt{d}$。
• 为具有高伪圈长和平均度数 $d$ 的团图的谱稀疏化近似建立下界 $(2 - o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$。
• 比较割边稀疏化与谱稀疏化近似的误差界，以证明其性能上的分离。
• 通过取极限 $n \to \infty$ 后再取 $d \to \infty$，来证明误差项 $o_{n,d}(1)$ 的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 平均度数为 $d$ 的团图的割边稀疏化近似可实现的最小近似误差是多少？
• RQ2 随机 $d$-正则图能否实现优于拉马努金界的割边稀疏化误差？
• RQ3 具有高伪圈长和平均度数 $d$ 的团图的谱稀疏化近似可实现的最小近似误差是多少？
• RQ4 是否存在割边稀疏化与谱稀疏化性能在近似误差上的可证明分离？
• RQ5 当 $n \to \infty$ 且 $d \to \infty$ 时，割边稀疏化与谱稀疏化近似的渐近行为如何比较？

主要发现

• 随机 $d$-正则图以高概率实现的割边稀疏化近似误差至多为 $\left(2\sqrt{2/\pi} + o_{n,d}(1)\right)/\sqrt{d} \approx (1.595 + o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$。
• 该上界优于拉马努金界，而拉马努金界已被证明对谱稀疏化近似是紧的。
• 任何具有平均度数 $d$ 和高伪圈长的团图的谱稀疏化近似，其近似误差必须至少为 $(2 - o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$。
• 本文建立了割边稀疏化与谱稀疏化之间的分离：对于相同的平均度数 $d$，割边稀疏化可实现比谱稀疏化更低的误差。
• 对于随机 $\log n$-正则图，以高概率存在一个平均度数为 $d$ 且误差 $\leq (1.595 + o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$ 的割边稀疏化近似。
• 谱稀疏化近似下界 $(2 - o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$ 推广了 Srivastava 和 Trevisan 的结果，适用于具有高伪圈长的图。