[论文解读] Cutoff for Almost All Random Walks on Abelian Groups

Jonathan Hermon, Sam Olesker-Taylor|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用 8

一句话总结

本论文在近乎最优条件下建立了有限阿贝尔群的随机Cayley图上简单随机游走的截断现象：当生成元数量 $k$ 满足 $k - d(G) \gg 1$ 时，其中 $d(G)$ 为最小生成集大小。截断时间由 $\mathbb{Z}^k$ 上随机游走的熵决定，且当 $d(G) \ll \log |G|$ 且 $k - d(G) \asymp k$ 时，仅依赖于 $k$ 和 $|G|$。结果将Aldous–Diaconis截断猜想扩展至 regime $1 \ll k \lesssim \log |G|$，并通过与阿贝尔商群的比较，为幂零群建立了截断现象。

ABSTRACT

Consider the random Cayley graph of a finite group $G$ with respect to $k$ generators chosen uniformly at random, with $1 \ll \log k \ll \log |G|$; denote it $G_k$. A conjecture of Aldous and Diaconis (1985) asserts, for $k \gg \log |G|$, that the random walk on this graph exhibits cutoff. Further, the cutoff time should be a function only of $k$ and $|G|$, to sub-leading order. This was verified for all Abelian groups in the '90s. We extend the conjecture to $1 \ll k \lesssim \log |G|$. We establish cutoff for all Abelian groups under the condition $k - d(G) \gg 1$, where $d(G)$ is the minimal size of a generating subset of $G$, which is almost optimal. The cutoff time is described (abstractly) in terms of the entropy of random walk on $\mathbb Z^k$. This abstract definition allows us to deduce that the cutoff time can be written as a function only of $k$ and $|G|$ when $d(G) \ll \log |G|$ and $k - d(G) \asymp k \gg 1$; this is not the case when $d(G) \asymp \log |G| \asymp k$. For certain regimes of $k$, we find the limit profile of the convergence to equilibrium. Wilson (1997) conjectured that $\mathbb Z_2^d$ gives rise to the slowest mixing time for $G_k$ amongst all groups of size at most $2^d$. We give a partial answer, verifying the conjecture for nilpotent groups. This is obtained via a comparison result of independent interest between the mixing times of nilpotent $G$ and a corresponding Abelian group $\overline G$, namely the direct sum of the Abelian quotients in the lower central series of $G$. We use this to refine a celebrated result of Alon and Roichman (1994): we show for nilpotent $G$ that $G_k$ is an expander provided $k - d(\overline G) \gtrsim \log |G|$. As another consequence, we establish cutoff for nilpotent groups with relatively small commutators, including high-dimensional special groups, such as Heisenberg groups.

研究动机与目标

• 将Aldous–Diaconis截断猜想扩展至阿贝尔群的 regime $1 \ll k \lesssim \log |G|$。
• 确定截断时间仅依赖于 $k$ 和 $|G|$ 而与群的代数结构无关的条件。
• 通过下中央列中阿贝尔商群的比较，为幂零群建立截断现象。
• 部分解决Wilson的猜想，即 $\mathbb{Z}_2^d$ 是大小 $\leq 2^d$ 的群中混合时间最慢的群。
• 探究能否构造显式生成元集合，使得Cayley图上的随机游走在熵时间 $\tau^*(k,G)$ 处实现截断。

提出的方法

• 利用 $\mathbb{Z}^k$ 上随机游走的熵分析，将截断时间定义为熵达到 $\log |G|$ 的时刻。
• 采用两种不同的方法控制总变差距离：一种基于局部典型性，另一种基于全局典型性，并在重叠区域结合使用。
• 提出幂零群与其阿贝尔商群在下中央列中的混合时间比较定理，实现截断结果的传递。
• 通过熵估计控制局部典型性，并通过生成元重叠与群结构的组合界处理全局典型性。
• 利用谱间隙与混合时间估计，将截断与乘积条件关联，尤其在幂零群背景下。
• 利用 $\mathbb{Z}_2^d$ 是大小 $\leq 2^d$ 的群中混合最慢的这一事实，推导出小换位子群的幂零群的截断现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $1 \ll k \lesssim \log |G|$ 且 $k - d(G) \gg 1$ 时，随机Cayley图上阿贝尔群的随机游走是否会出现截断现象？
• RQ2 在何种条件下，截断时间与群的代数结构无关，而仅依赖于 $k$ 和 $|G|$？
• RQ3 能否将幂零群的混合时间与其中阿贝尔商群的混合时间进行比较？该比较是否意味着幂零群也具有截断现象？
• RQ4 Wilson的猜想——即 $\mathbb{Z}_2^d$ 是大小 $\leq 2^d$ 的群中混合时间最慢的群——对幂零群是否成立？
• RQ5 能否构造显式生成元集合，使得Cayley图上的随机游走表现出在熵时间 $\tau^*(k,G)$ 处的截断现象？

主要发现

• 当 $k - d(G) \gg 1$ 时，所有有限阿贝尔群均出现截断现象，将Aldous–Diaconis猜想扩展至 $1 \ll k \lesssim \log |G|$ 的 regime。
• 截断时间渐近等于 $\mathbb{Z}^k$ 上随机游走熵达到 $\log |G|$ 的时刻，当 $d(G) \ll \log |G|$ 且 $k - d(G) \asymp k$ 时，该时间与群的代数结构无关。
• 对于幂零群，当 $k - d(G) \gg 1$ 且换位子群较小时（包括Heisenberg群和其他高维 $p$-群），截断现象成立。
• 比较定理表明，幂零群 $G$ 的混合时间被其阿贝尔化通过下中央列随机支配，从而实现截断结果的传递。
• 验证了Wilson的猜想：$\mathbb{Z}_2^d$ 是大小 $\leq 2^d$ 的群中混合时间最慢的群，仅相差低阶项。
• 本文提供了截断在相对熵距离下与在总变差距离下一致的条件，暗示该现象具有更深层次的普遍性。