[论文解读] Cutoff for Random Walks on Upper Triangular Matrices

Jonathan Hermon, Sam Olesker-Taylor|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2019

Graph theory and applications参考文献 22被引用 7

一句话总结

该论文为上三角矩阵群 U_{p,d}（在 Z_p 上）及 d 维 Heisenberg 群（在 Z_p 上）上的简单随机游走建立了 cutoff 现象，其中 d 固定或随 p 缓慢增长。通过结合熵估计与群结构的熵方法，作者证明 cutoff 时间为 max{log_k |G|, s_0 k}，其中 s_0 是在阿贝尔化群上熵达到 (log |G^{ab}|)/k 所需的时间。该时间不仅依赖于 k 和 |G|，还依赖于群的结构，从而反驳了 Aldous–Diaconis 猜想的次要部分。

ABSTRACT

Consider the random Cayley graph of a finite group $G$ with respect to $k$ generators chosen uniformly at random, with $1 \ll \log k \ll \log |G|$ (ie $1 \ll k = |G|^{o(1)}$). A conjecture of Aldous and Diaconis (1985) asserts, for $k\gg\log|G|$, that the random walk on this graph exhibits cutoff. When $\log k \lesssim \log\log|G|$ (ie $k = (\log |G|)^{\mathcal O(1)}$), the only example of a non-Abelian group for which cutoff has been established is the dihedral group. We establish cutoff (as $p o infty$) for the group of $d imes d$ unit upper triangular matrices with integer entries modulo $p$ (prime), which we denote $U_{p,d}$, for fixed $d$ or $d$ diverging sufficiently slowly. We allow $1 \ll k \lesssim \log |U_{p,d}|$ as well as $k\gg\log|U_{p,d}|$. The cutoff time is $\max\{\log_k |U_{p,d}|, \: s_0 k\}$, where $s_0$ is the time at which the entropy of the random walk on $\mathbb Z$ reaches $(\log |U_{p,d}^\mathrm{ab}|)/k$, where $U_{p,d}^\mathrm{ab} \cong \mathbb Z_p^{d-1}$ is the Abelianisation of $U_{p,d}$. When $1 \ll k \ll \log |U_{p,d}^\mathrm{ab}|$ and $d \asymp 1$, we find the limit profile. We also prove highly related results for the $d$-dimensional Heisenberg group over $\mathbb Z_p$. The Aldous--Diaconis conjecture also asserts, for $k gg\log |G|$, that the cutoff time should depend only on $k$ and $|G|$. This was verified for all Abelian groups. Our result shows that this is not the case for $U_{p,d}$: the cutoff time depends on $k$, $|U_{p,d}| = p^{d(d-1)/2}$ and $|U_{p,d}^\mathrm{ab}|=p^{d-1}$. We also show that all but $o(|U_{p,d}|)$ of the elements of $U_{p,d}$ lie at graph distance $M \pm o(M)$ from the identity, where $M$ is the minimal radius of a ball in $\mathbb Z^k$ of cardinality $|U_{p,d}^\mathrm{ab}| = p^{d-1}$. Finally, we show that the diameter is also asymptotically $M$ when $k \gtrsim \log |U_{p,d}^ extrm{ab}|$ and $d\asymp1$.

研究动机与目标

• 研究非交换群上随机游走的 cutoff 现象，特别是 Z_p 上的上三角矩阵群和 Heisenberg 群。
• 检验 Aldous–Diaconis 猜想所预测的 universality，该猜想认为当 k ≫ log |G| 时，cutoff 时间仅依赖于 k 和 |G|。
• 证明对于非交换群（如 U_{p,d}），cutoff 时间可显著短于同阶大小的阿贝尔群，具体取决于群的结构。
• 发展基于熵和群阿贝尔化的通用技术，适用于幂零群，并可推广至典型距离与直径。

提出的方法

• 使用熵方法分析混合时间，估计随机游走在阿贝尔化群 G^{ab} 上的熵达到 (log |G^{ab}|)/k 的时间。
• 通过 Z^k 上随机游走的熵建立基于熵的下界，并根据阿贝尔化群的大小 |G^{ab}| 进行校准。
• 通过分析 Cayley 图中球的结构并将其与阿贝尔化的几何性质关联，建立上界。
• 运用大数集中方法，证明典型距离与直径集中在特定值 M 周围，其中 M 定义为在 Z^k 中大小为 |G^{ab}| 的球的最小半径。
• 通过利用群的下中心列与幂零类，将阿贝尔群的技术适应于非阿贝尔幂零群。
• 利用当 k ≳ log |G^{ab}| 时，Cayley 图以高概率成为 expander 的事实，从而控制直径与典型距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 1 ≪ k ≲ log |G| 时，U_{p,d} 的随机 Cayley 图上的随机游走是否仍表现出 cutoff，即使 k 并不小？
• RQ2 非阿贝尔群的 cutoff 时间是否可能依赖于 k 和 |G| 之外的因素，从而反驳 Aldous–Diaconis 猜想的次要部分？
• RQ3 当 k 和 d 变化时，U_{p,d} 的随机 Cayley 图中典型距离与直径的渐近行为如何？
• RQ4 cutoff 时间与阿贝尔化群 G^{ab} 上游走熵之间有何关系？
• RQ5 用于 U_{p,d} 的熵方法能否推广至其他幂零群，包括 Heisenberg 群？

主要发现

• 在 d 固定或随 p 缓慢增长时，对 U_{p,d} 及 Z_p 上的 d 维 Heisenberg 群，均建立了随机游走的 cutoff 现象。
• cutoff 时间为 max{log_k |G|, s_0 k}，其中 s_0 是 Z^k 上熵达到 (log |G^{ab}|)/k 所需的时间，表明其依赖于 G^{ab} 的结构，而不仅依赖于 |G| 和 k。
• 当 1 ≪ k ≪ log |G^{ab}| 且 d ≍ 1 时，cutoff 的极限轮廓可被显式确定。
• 除 o(|G|) 个元素外，G 中所有元素与单位元的图距离均在 M ± o(M) 范围内，其中 M 是 Z^k 中大小为 |G^{ab}| 的球的最小半径。
• 当 k ≳ log |G^{ab}| 且 d ≍ 1 时，Cayley 图的直径以高概率渐近等于 M。
• cutoff 时间依赖于群的结构，而不仅依赖于 k 和 |G|，从而否定了 Aldous–Diaconis 猜想的次要部分。