[论文解读] Cuts in Cartesian Products of Graphs

Sushant Sachdeva, Madhur Tulsiani|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Graph theory and applications参考文献 15被引用 7

一句话总结

该论文将布尔函数分析在超立方体上的基本结果——特别是KKL定理和Friedgut的junta定理——推广到任意图的笛卡尔积上。它在$G^{\square k}$的背景下引入了影响和方差度量，证明了基图$G$的对数Sobolev常数$\alpha$控制着影响界和junta近似的强度，通过谱论和泛函分析技术，将经典结果从超立方体设定推广至更一般的图结构。

ABSTRACT

The k-fold Cartesian product of a graph G is defined as a graph on k-tuples of vertices, where two tuples are connected if they form an edge in one of the positions and are equal in the rest. Starting with G as a single edge gives G^k as a k-dimensional hypercube. We study the distributions of edges crossed by a cut in G^k across the copies of G in different positions. This is a generalization of the notion of influences for cuts on the hypercube. We show the analogues of results of Kahn, Kalai, and Linial (KKL Theorem [KahnKL88]) and that of Friedgut (Friedgut's Junta theorem [Friedgut98]), for the setting of Cartesian products of arbitrary graphs. Our proofs extend the arguments of Rossignol [Rossignol06] and of Falik and Samorodnitsky [FalikS07], to the case of arbitrary Cartesian products. We also extend the work on studying isoperimetric constants for these graphs [HoudreT96, ChungT98] to the value of semidefinite relaxations for edge-expansion. We connect the optimal values of the relaxations for computing expansion, given by various semidefinite hierarchies, for G and G^k.

研究动机与目标

• 将KKL定理和Friedgut的junta定理从超立方体推广到任意图的笛卡尔积上。
• 在$G^{\square k}$的背景下定义并分析影响、方差和边扩张，推广超立方体中的相关概念。
• 建立$G^{\square k}$中等周常数、半定松弛与扩张之间的联系。
• 刻画对数Sobolev常数和特征值在乘积图（特别是$G^{\square k}$）上的行为。

提出的方法

• 在$G^{\square k}$中，将第$j$个坐标的影响定义为$\langle f, \mathbf{L}_j f \rangle$，其中$\mathbf{L}_j$是限制在第$j$个因子上的拉普拉斯算子。
• 将基图$G$的对数Sobolev常数$\alpha$作为关键的等周参数，用于量化影响强度。
• 通过将Rossignol和Falik–Samorodnitsky的论证方法推广至任意图，证明广义的KKL定理和Friedgut定理。
• 分析基图$G$与乘积图$G^{\square k}$的对数Sobolev常数之间的关系，表明其按$\alpha/k$缩放。
• 建立$G$与$G^{\square k}$在边扩张上的半定松弛之间的联系，特别关注Sherali-Adams和Lasserre等层次结构。
• 利用$G^{\square k}$的谱分解和特征函数性质，推导影响和方差的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以对数Sobolev常数为参数，将KKL定理从超立方体推广至任意图的笛卡尔积？
• RQ2 Friedgut的junta定理是否可推广至$G^{\square k}$，且相关坐标的数量是否依赖于$\mathbb{I}/\alpha$？
• RQ3 诸如导通率和对数Sobolev常数等等周常数在笛卡尔积下如何变化？
• RQ4 $G$与$G^{\square k}$在边扩张上的半定松弛之间存在何种关系？
• RQ5 $G^{\square k}$的特征值和特征函数与$G$的特征值和特征函数有何关联？

主要发现

• 广义的KKL定理表明：对任意$f: V(G^{\square k}) \to \{-1,1\}$，若其方差为$v$，则存在某个坐标的影响为$\Omega(\alpha v \log k / k)$，其中$\alpha$为图$G$的对数Sobolev常数。
• 广义的Friedgut定理表明：任意总影响为$\mathbb{I}$的函数，可被依赖于$\exp(O(\mathbb{I}/\alpha \varepsilon))$个坐标的函数$\varepsilon$-近似。
• 图$G^{\square k}$的对数Sobolev常数为$\alpha/k$，其中$\alpha$为图$G$的对数Sobolev常数，确立了泛函不等式中的缩放规律。
• 导通率满足$\Phi(G^{\square k}) \geq \Phi(G)/k$，建立了乘积图间扩张性质的联系。
• 边扩张的半定松弛在$G^{\square k}$中与在$G$中相关联，特别是Lasserre和Sherali-Adams等层次结构的最优值保持了结构关系。
• $G^{\square k}$的特征值为$G$的特征值之和，其特征函数为张量积形式，从而支持对影响和方差的谱分析。