[论文解读] Cuts, Primal Heuristics, and Learning to Branch for the Time-Dependent Traveling Salesman Problem

Christoph Hansknecht, Imke Joormann+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 23被引用 14

一句话总结

本文提出了一种带有自定义割平面、原始启发式方法和基于学习的分支策略的分支定界框架，用于求解时间依赖旅行商问题（TDTSP），该问题为弧成本随时间变化的ATSP推广形式。该方法在1小时内将最优性差距缩小至6%，显著优于现成求解器；尽管初步尝试学习强分支规则未能提升运行时间。

ABSTRACT

We consider the time-dependent traveling salesman problem (TDTSP), a generalization of the asymmetric traveling salesman problem (ATSP) to incorporate time-dependent cost functions. In our model, the costs of an arc can change arbitrarily over time (and do not only dependent on the position in the tour). The TDTSP turns out to be structurally more difficult than the TSP. We prove it is NP-hard and APX-hard even if a generalized version of the triangle inequality is satisfied. In particular, we show that even the computation of one-trees becomes intractable in the case of time-dependent costs. We derive two IP formulations of the TDTSP based on time-expansion and propose different pricing algorithms to handle the significantly in- creased problem size. We introduce multiple families of cutting planes for the TDTSP as well as different LP-based primal heuristics, a propaga- tion method and a branching rule. We conduct computational experiments to evaluate the effectiveness of our approaches on randomly generated in- stances. We are able to decrease the optimality gap remaining after one hour of computations to about six percent, compared to a gap of more than forty percent obtained by an off-the-shelf IP solver. Finally, we carry out a first attempt to learn strong branching decisions for the TDTSP. At the current state, this method does not improve the running times.

研究动机与目标

• 解决时间依赖旅行商问题（TDTSP）的计算不可解性，其中弧成本随时间变化且依赖于到达时间，而不仅取决于位置。
• 通过开发专用的公式化方法、割平面和原始启发式方法，克服现有方法的局限性，以应对TDTSP问题。
• 探究机器学习是否可提升TDTSP中分支决策的效率，旨在增强分支定界法的性能。
• 证明即使在采用先进割平面和启发式方法的情况下，TDTSP仍为NP难问题，且在广义三角不等式下不可逼近。
• 评估基于lambdaMART的“学习分支”方法在TDTSP特定特征上的有效性，并与SCIP的默认分支策略进行比较。

提出的方法

• 使用时间展开图对TDTSP进行建模，将时间依赖成本转化为分层网络，其中每个时间点θ对应弧(u,v,θ)。
• 设计多类割平面以强化整数规划松弛，包括STDTSP不等式的推广形式。
• 实现基于线性规划的原始启发式方法及一种传播方法，以改进原始界，利用其与非对称TSP的关联性。
• 设计一种基于排名函数的分支规则，该函数通过lambdaMART在成本与LP比值、变量边界和连通分量大小等特征上进行训练。
• 在定价过程中使用拉格朗日松弛，以应对时间展开导致的问题规模指数级增长。
• 在20–30个训练实例中生成的5,000多个数据样本上训练基于学习的分支规则，使用强分支得分作为标签。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使在广义时间依赖三角不等式下，依赖于到达时间的时间依赖成本是否会使TDTSP在本质上比标准ATSP更难？
• RQ2 标准TSP割平面和原始启发式方法在多大程度上可被适配至TDTSP？它们是否能显著改善对偶界和原始界？
• RQ3 能否使用机器学习技术（特别是lambdaMART）学习TDTSP分支定界框架中的有效分支决策？
• RQ4 所学习的分支规则在求解时间与最优性差距方面是否优于默认的强分支策略？
• RQ5 为何某些松弛方法（如时间依赖生成树）在TDTSP中无法提供有用的下界，尽管其在简化变体中表现成功？

主要发现

• 即使在广义时间依赖三角不等式下，TDTSP仍为NP难且APX难问题，且计算生成树也变得不可行。
• 所提出的分支定界框架在1小时计算时间内将最优性差距缩小至6%，而现成IP求解器的差距超过40%。
• 原始启发式方法与目标值传播显著缩小了差距，优于求解器内置的启发式方法。
• 尽管“学习分支”方法基于TDTSP特定特征进行训练，但其运行时间未获改善，且表现劣于SCIP内置分支策略。
• 时间展开公式化结合基于拉格朗日松弛的定价机制，使大规模问题的处理成为可能。
• 学习分支的失败表明，需通过更优的特征工程、强化学习或直接端到端求解学习，才能释放机器学习在TDTSP中的潜力。