[论文解读] Cutwidth and degeneracy of graphs

Benoît Kloeckner|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2009

Graph theory and applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

该论文通过引入涉及退化性、割宽和均匀稀疏性的新颖不等式，建立了图的割宽与退化性之间的二次下界。证明了对所有图，割宽至少为 $\frac{1}{4}\delta(G)^2 + \frac{1}{2}\delta(G)$，而对于无三角形图，该下界可收紧为 $\frac{1}{2}\delta(G)^2$，从而在图的结构性稀疏性与布局复杂性之间建立了强有力的定量联系。

ABSTRACT

We prove an inequality involving the degeneracy, the cutwidth and the sparsity of graphs. It implies a quadratic lower bound on the cutwidth in terms of the degeneracy for all graphs and an improvement of it for clique-free graphs.

研究动机与目标

• 建立以退化性和均匀稀疏性表示的割宽的一般下界。
• 研究稀疏性和无团结构等结构性质如何影响割宽复杂性。
• 通过图论不变量为格罗莫夫关于水平集复杂性的拓扑问题提供定量解答。
• 改进特定图类（尤其是无三角形图和 $K_{k+1}$-free 图）的割宽现有界。

提出的方法

• 引入 $(\rho,\lambda)$-均匀稀疏性概念，以控制子图密度并将其与割宽关联。
• 推导割宽的一般下界：$\mathop{\mathrm{cw}}(G) \geq \lceil\rho n\rceil\left(\delta(G) - \frac{\lceil\rho n\rceil - 1}{\lambda}\right)$。
• 通过设定 $\rho = 0$，$\lambda = 1$ 将该界应用于一般图，得到 $\mathop{\mathrm{cw}}(G) > \frac{(\delta(G)+1)^2}{4} - 1$。
• 利用图兰定理为 $K_{k+1}$-free 图建立 $(\rho,\lambda)$-均匀稀疏性，从而实现更紧的界。
• 通过选择 $\rho = \delta(G)/n$ 优化该界，为无三角形图导出二次下界。
• 通过构造图兰图的显式排序验证该界，表明其在数量级上与上界匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般图，以退化性表示的割宽最强下界是什么？
• RQ2 无三角形或更大团的图如何影响退化性与割宽之间的关系？
• RQ3 是否可利用均匀稀疏性条件为特定图族导出更紧的割宽二次下界？
• RQ4 图的退化性在多大程度上控制其割宽，特别是在稀疏图或极值图类中？
• RQ5 理论下界与显式构造（如图兰图）相比如何？

主要发现

• 对所有简单图，割宽满足 $\mathop{\mathrm{cw}}(G) \geq \frac{1}{4}\delta(G)^2 + \frac{1}{2}\delta(G)$，且在完全图中为紧致界。
• 对无三角形图，割宽的下界为 $\frac{1}{2}\delta(G)^2$，显著优于一般图的下界。
• 对 $K_{k+1}$-free 图，该界提升为 $\mathop{\mathrm{cw}}(G) \geq \frac{k}{k-1}\frac{\delta(G)^2}{4} - \frac{k-1}{k}$，体现了图兰定理带来的稀疏性。
• 该下界对图兰图 $\mathrm{Tur}(n,k)$ 渐近紧致，因为显式排序实现的割宽与下界相差 $O(n)$。
• 所导出的不等式表明，增加稀疏性会降低退化性到割宽的比值，解释了为何在稀疏图中割宽的增长速度慢于退化性。
• 结果确认了拓扑复杂性（通过水平集多重性）与组合退化性之间的定量联系，回应了受格罗莫夫工作启发的问题。