[论文解读] CW type of inverse limits and function spaces

Jaka Smrekar|ArXiv.org|Aug 21, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 57被引用 5

一句话总结

本文研究了函数空间 $Y^X$ 的 CW 同伦型以及 CW 型空间之间纤维丛逆系的逆极限。通过分析纤维丛的逆系统，并应用同伦工具如统一的 Mittag-Leffler 性质和 Zabrodsky 引理，作者证明：若逆极限 $Z_∞$ 具有 CW 型，则环路空间 $ΩZ_i$ 沿子序列可分解为同伦等价映射与零同伦映射的乘积。一个关键结果是：当 $Y$ 在度数高于 $N$ 时同伦群平凡时，函数空间 $Y^{\bigcup L_i}$ 具有 CW 型，当且仅当代数映射在 $π_k$ 上满足 Mittag-Leffler 型条件。

ABSTRACT

Given CW complexes X and Y, let map(X,Y) denote the space of continuous functions from X to Y with the compact open topology. The space map(X,Y) need not have the homotopy type of a CW complex. Here the results of an extensive investigation of various necessary and various sufficient conditions for map(X,Y) to have the homotopy type of a CW complex are exhibited. The results extend all previously known results on this topic. Moreover, appropriate converses are given for the previously known sufficient conditions. It is shown that this difficult question is related to well known problems in algebraic topology. For example, the geometric Moore conjecture (asserting that a simply connected finite complex admits an eventual geometric exponent at any prime if and only if it is elliptic) can be restated in terms of CW homotopy type of certain function spaces. Spaces of maps between CW complexes are a particular case of inverse limits of systems whose bonds are Hurewicz fibrations between spaces of CW homotopy type. Related problems concerning CW homotopy type of the limit space of such a system are also studied. In particular, an almost complete solution to a well known problem concerning towers of fibrations is presented.

研究动机与目标

• 确定函数空间 $Y^X$ 具有 CW 复形同伦型的必要与充分条件，扩展 Milnor 和 Kahn 的基础性结果。
• 分析 CW 型空间之间纤维丛逆极限的同伦型，尤其关注极限空间具有 CW 同伦型的情形。
• 研究同伦群 $\pi_k(Y)$ 及其在限制映射下的行为，以确定 $Y^X$ 的 CW 型。
• 阐明 $Y^X$ 的 CW 型与 $Y$ 中几何 H-空间指数存在的关系，特别是在 $P$-局部化背景下的情形。
• 证明 CW 型函数空间中不存在强幽灵现象，并构造显式例子，如弱收缩但非收缩的函数空间。

提出的方法

• 将函数空间 $Y^X$ 视为有限子复形 $L_i \subset X$ 上的逆极限，其中限制映射 $Y^{L_j} \to Y^{L_i}$ 构成一个纤维丛塔。
• 应用统一的 Mittag-Leffler 性质，分析 CW 型空间之间纤维丛逆系统的收敛性。
• 利用 Zabrodsky 引理与局部化理论，将 $Y^X$ 的 CW 型与 $Y$ 的同伦群及 $X$ 的同调联系起来。
• 通过纤维化约化与同伦等价论证，将问题约化为具有非退化基点的连通、带基点的 CW 复形。
• 应用如下结果：当 $g$ 的道路分支具有 CW 型时，对可数子复形 $L \subset X$，有 $\Omega(Y^X, g) \to \Omega(Y^L, g|_L)$ 是同伦等价。
• 证明：当 $Y = K(G,n)$ 时，$Y^X$ 具有 CW 型当且仅当 $X$ 满足某些同调条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 CW 型空间之间的纤维丛塔的逆极限何时具有 CW 复形同伦型？
• RQ2 当 $Y$ 在度数高于 $N$ 时同伦群平凡时，函数空间 $Y^X$ 何时具有 CW 同伦型？
• RQ3 映射 $\pi_k(Z_j) \to \pi_k(Z_i)$ 如何与逆极限 $Z_\infty$ 的 CW 型相关？
• RQ4 $Y^X$ 的 CW 型与 $Y$ 中几何 H-空间指数存在的关系是什么？
• RQ5 在 CW 型函数空间中，是否可以避免强幽灵现象？有哪些例子可说明这一点？

主要发现

• 若 CW 型空间之间纤维丛塔的逆极限 $Z_\infty$ 具有 CW 型，则子序列 $\{\Omega Z_i\}$ 可分解为同伦等价映射与零同伦映射的乘积。
• 当 $Y$ 满足 $\pi_k(Y) = 0$ 对所有 $k > N$ 时，函数空间 $Y^{\bigcup L_i}$ 具有 CW 型当且仅当系统中诱导映射 $\pi_k(Y) \to \pi_k(Y)$ 满足统一的 Mittag-Leffler 条件。
• 若 $X$ 是 1-连通且 $\bigoplus_n \pi_n(Y)$ 是有限生成的，则 $Y^X$ 具有 CW 同伦型，前提是同伦群满足 Mittag-Leffler 型条件。
• 当 $Y = K(G,n)$ 时，$Y^X$ 具有 CW 型当且仅当 $X$ 满足某些同调有限性条件，特别是与 $X$ 的同调相关。
• 存在一个带基点的函数空间，其弱收缩但非收缩，证明了在 CW 型函数空间中不存在强幽灵现象。
• 当 $X$ 是有限复形的 $P$-局部化，且 $Y$ 是 $P$-局部化时，局部化映射 $X \to X_{(P)}$ 诱导出真正的同伦等价 $Y^{X_{(P)}} \to Y^X$，无论 $Y^X$ 是否具有 CW 型。