[论文解读] Cycle lengths and minimum degree of graphs

Chun‐Hung Liu, Jie Ma|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文在最小度较高的图中建立了环长度的紧致界，证明了最小度至少为 $k+1$ 的图包含 $k$ 个具有连续偶数长度的环，或长度为公差为二的等差数列的环。对于 2-连通的非二分图，本文证实了当 $k$ 为偶数时 Thomassen 关于环长度模 $k$ 的猜想，并表明当 $k$ 为奇数时 $k+4$ 已足够，显著改进了先前结果，并基于环序列结构推导出新的色数上界。

ABSTRACT

There has been extensive research on cycle lengths in graphs with large minimum degree. In this paper, we obtain several new and tight results in this area. Let $G$ be a graph with minimum degree at least $k+1$. We prove that if $G$ is bipartite, then there are $k$ cycles in $G$ whose lengths form an arithmetic progression with common difference two. For general graph $G$, we show that $G$ contains $\lfloor k/2 floor$ cycles with consecutive even lengths and $k-3$ cycles whose lengths form an arithmetic progression with common difference one or two. In addition, if $G$ is 2-connected and non-bipartite, then $G$ contains $\lfloor k/2 floor$ cycles with consecutive odd lengths. Thomassen (1983) made two conjectures on cycle lengths modulo a fixed integer $k$: (1) every graph with minimum degree at least $k+1$ contains cycles of all even lengths modulo $k$; (2) every 2-connected non-bipartite graph with minimum degree at least $k+1$ contains cycles of all lengths modulo $k$. These two conjectures, if true, are best possible. Our results confirm both conjectures when $k$ is even. And when $k$ is odd, we show that minimum degree at least $k+4$ suffices. This improves all previous results in this direction. Moreover, our results derive new upper bounds of the chromatic number in terms of the longest sequence of cycles with consecutive (even or odd) lengths.

研究动机与目标

• 解决 Thomassen 长期以来关于高最小度图中环长度模 $k$ 的猜想。
• 确定确保存在 $k$ 个具有连续或等差数列长度的环的最优最小度阈值。
• 基于最长的具有连续偶数或奇数长度的环序列，推导出色数的新上界。
• 弥合现有结果与在最小度约束下环长度分布的最优可能界之间的差距。
• 研究最小度条件在环序列存在性方面的紧致性，特别是在二分图与非二分图中的情况。

提出的方法

• 在 2-连通二分图中证明一个基础的路径存在性结果，即在两个最小度较高的顶点之间存在 $k$ 条满足长度条件的路径。
• 使用图的结构理论与块分解，将非 2-连通图简化为 2-连通分量，特别是终端块。
• 应用归纳法与环构造技术，构建具有连续或等差数列长度的环序列。
• 利用高平均度与围长较高的图中环序列的已知结果，对环长度分布进行有界。
• 运用临界图论与非分离的奇圈诱导子图，从环序列长度推导出色数上界。
• 分析极值例子如 $K_{k+2}$ 和 $K_{k+1,n}$，以证明最小度界限的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个最小度为 $k+1$ 的图是否都包含 $k$ 个具有连续长度的环，或公差为二的等差数列长度的环？
• RQ2 Thomassen 关于环长度模 $k$ 的猜想是否对所有 $k$ 成立？需要的最小度是多少？
• RQ3 确保存在 $k$ 个具有连续偶数或奇数长度的环的最小度条件的最优可能形式是什么？
• RQ4 具有连续偶数或奇数长度的最长环序列与图的色数之间有何关系？
• RQ5 最小度界限 $k+4$ 是否最优，以确保存在 $k$ 个具有连续长度或满足该长度条件的环？

主要发现

• 对于任意最小度为 $k+1$ 的 2-连通二分图，任意两个顶点之间都存在 $k$ 条满足长度条件的路径，且该界对 $K_{k,n}$ 是紧致的。
• 每个最小度至少为 $k+1$ 的图都包含 $\lfloor k/2\rfloor$ 个具有连续偶数长度的环，以及 $k-3$ 个构成公差为一或二的等差数列的环。
• 若 $G$ 是 2-连通且非二分图，且 $\delta(G) \geq k+1$，则 $G$ 包含 $\lfloor k/2\rfloor$ 个具有连续奇数长度的环。
• 当 $k$ 为偶数时，Thomassen 关于环长度模 $k$ 的猜想得到证实；当 $k$ 为奇数时，$\delta(G) \geq k+4$ 已足够。
• 通过极值例子 $K_{k+2}$ 和 $K_{k+1,n}$ 证明，$\delta(G) \geq k+4$ 的界在常数项意义下是紧致的。
• 推导出色数的新上界：$\chi(G) \leq c(G) + 4$，其中 $c(G)$ 是具有连续偶数或奇数长度的最长环序列的长度。