[论文解读] Cycle map on Hilbert schemes of nodal curves

Ziv Ran|ArXiv.org|Oct 2, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明了从一族节点曲线的相对 Hilbert 模型（m 个点）到相对对称积的周期映射，同构于对判别子簇（即具有重合点的周期所构成的子簇）的爆破——即，该映射是判别子簇的爆破。该结果通过映射的局部分析得以证明，表明其为奇点的小爆破，其纤维由有理曲线链构成。该结果为在双有理几何与交集理论中研究 Hilbert 模型提供了基础性的几何结构。

ABSTRACT

We study the structure of the relative Hilbert scheme for a family of nodal (or smooth) curves via its natural cycle map to the relative symmetric product. We show that the cycle map is the blowing up of the discriminant locus, which consists of cycles with multiple points. We discuss some applications and connections, notably with birational geometry and intersection theory on Hilbert schemes of smooth surfaces. Revised version corrects some minor errors.

研究动机与目标

• 通过其到相对对称积的周期映射，理解一族节点曲线的相对 Hilbert 模型 $X^{[m]}_B$ 的几何结构。
• 证明周期映射 $\mathfrak{c}_m$ 是相对对称积 $X^{(m)}_B$ 中判别子簇 $D^m$ 的爆破，其中周期包含重合点。
• 将此结果应用于研究 $X^{[m]}_B$ 上典范丛、欧拉示性数及典型丛的示性类。
• 通过翻转与 flop 的视角，将 Hilbert 模型的几何结构与经典枚举几何及双有理几何相联系。
• 基于周期映射的爆破结构，对 Lehn 的典型丛示性类公式给出新推导。

提出的方法

• 主要方法是对周期映射 $\mathfrak{c}_m$ 在相对对称积 $X^{(m)}_B$ 上进行局部研究，分析其纤维与奇点。
• 证明利用了 $\mathfrak{c}_m$ 在判别子簇 $D^m$ 之外是同构的事实，并通过理想理论与 Proj 构造证明其为 $D^m$ 的爆破。
• 本文采用旗 Hilbert 模型 $W^m(X/B)$ 作为带过滤子概形的参数空间，其投影 $p_i$ 到相继商的支撑。
• 使用关键恒等式 $c(w^*\lambda_m(L)) = \prod_{j=1}^m (1 + L_j - \sum_{i=1}^{j-1} \Delta_{ij})$，其中 $\Delta_{ij}$ 为第 $i$ 个与第 $j$ 个点重合的子簇。
• 示性类公式的推导通过将该乘积展开为单项式，按连通分支分组，并应用推出映射 $w_*$ 以恢复典型丛类。
• 该方法利用 Nakajima 的创造算子，并利用周期映射与上同调上标准运算（包括 $X^{[m]}_B$ 上的 $\star$ 乘法）的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 周期映射 $\mathfrak{c}_m: X^{[m]}_B \to X^{(m)}_B$ 是否为判别子簇 $D^m$ 的爆破？
• RQ2 周期映射 $\mathfrak{c}_m$ 的纤维结构如何，特别是对多重点周期而言？
• RQ3 周期映射如何与双有理几何相关联，特别是在翻转与 flop 的语境下？
• RQ4 Lehn 的典型丛示性类公式能否从周期映射的爆破结构中重新导出？
• RQ5 相对 Hilbert 模型 $X^{[m]}_B$ 的典范丛与欧拉示性数为何？

主要发现

• 周期映射 $\mathfrak{c}_m$ 是相对对称积 $X^{(m)}_B$ 中判别子簇 $D^m$ 的爆破，该子簇参数化具有重合点的周期。
• 周期映射 $\mathfrak{c}_m$ 的非点纤维为有理曲线链，其分量数最多为 $m-1$，确认其为奇点的小爆破。
• 当 $m=2$ 时，映射 $\mathfrak{c}_2$ 为 Francia 翻转，并存在一个自然的 2:1 覆盖，对应于三维普通双重点的 flop。
• 计算了 $X^{[m]}_B$ 的典范丛，并表明其行为类似翻转收缩，将几何结构与双有理几何联系起来。
• 基于爆破结构与周期映射，推导出 $X^{[m]}_B$ 的欧拉示性数的新公式。
• 通过在旗 Hilbert 模型上展开典型类公式并经由 $w_*$ 推出，获得了 Lehn 公式关于 $\lambda_m(L)$ 示性类的新推导。