[论文解读] Cycles and p-competition graphs

Suh-Ryung KIMBoram Park, Park, Boram+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过根据 $ n $ 确定 $ p $ 的精确值，刻画了环 $ C_n $ 及其补图 $ \overline{C_n} $ 为 $ p $-竞争图的条件。证明了 $ C_n $ 是 $ p $-竞争图当且仅当 $ n \geq p+3 $，并基于 $ n $ 和 $ p $ 提供了 $ \overline{C_n} $ 为 $ p $-竞争图的充分条件，通过边团覆盖分析推广了竞争图理论的先前结果。

ABSTRACT

The notion of p-competition graphs of digraphs was introduced by S-R. Kim, T. A. McKee, F. R. McMorris, and F. S. Roberts [p-competition graphs, Linear Algebra Appl., 217 (1995) 167--178] as a generalization of the competition graphs of digraphs. Let p be a positive integer. The p-competition graph C_p(D) of a digraph D=(V,A) is a (simple undirected) graph which has the same vertex set V and has an edge between distinct vertices x and y if and only if there exist p distinct vertices v_1, ..., v_p in V such that (x,v_i), (y,v_i) are arcs of the digraph D for each i=1, ..., p. In this paper, given a cycle of length n, we compute exact values of p in terms of n such that it is a p-competition graph, which generalizes the results obtained by Kim et al. We also find values of p in terms of n so that its complement is a p-competition graph.

研究动机与目标

• 通过刻画环 $ C_n $ 何时为 $ p $-竞争图，扩展 $ p $-竞争图理论。
• 确定环 $ \overline{C_n} $ 为 $ p $-竞争图的充分条件。
• 将 Kim 等人关于环的 $ 2 $-竞争图的先前结果推广至任意 $ p $。
• 将 $ p $-边团覆盖数 $ \theta_e^p(G) $ 作为刻画 $ p $-竞争图的关键工具进行分析。

提出的方法

• 使用定理 1.1 通过存在大小至多为 $ n $ 的 $ p $-边团覆盖来刻画 $ p $-竞争图。
• 应用反证法证明当 $ p \geq n-2 $ 时 $ C_n $ 不可能是 $ p $-竞争图，从而确立下界 $ n \geq p+3 $。
• 基于顶点索引的奇偶性和模运算，构造 $ \overline{C_n} $ 的显式 $ p $-边团覆盖族。
• 通过根据端点奇偶性和距离对边进行分类，将边分配至覆盖中的特定团，分析 $ \overline{C_n} $ 中的边覆盖。
• 使用定理 1.2 从边团覆盖数 $ \theta_e(\overline{C_n}) $ 推导出 $ \overline{C_n} $ 为 $ p $-竞争图的充分条件。
• 对奇数和偶数 $ n $ 进行分类讨论，构造最小边团覆盖并界定 $ \theta_e(\overline{C_n}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ p $ 和 $ n $ 值，环 $ C_n $ 是 $ p $-竞争图？
• RQ2 使得 $ C_n $ 不再是 $ p $-竞争图的最小 $ p $ 是多少？
• RQ3 对于哪些 $ p $ 和 $ n $ 值，补图 $ \overline{C_n} $ 是 $ p $-竞争图？
• RQ4 边团覆盖数 $ \theta_e(\overline{C_n}) $ 与 $ \overline{C_n} $ 的 $ p $-竞争图性质有何关系？
• RQ5 $ p $-边团覆盖数 $ \theta_e^p(G) $ 是否可用于完全刻画环的 $ p $-竞争图？

主要发现

• 环 $ C_n $ 是 $ p $-竞争图当且仅当 $ n \geq p + 3 $。
• 当 $ n \geq 9 $ 且为奇数时，若 $ p \leq \frac{n-3}{2} $，则 $ \overline{C_n} $ 是 $ p $-竞争图。
• 当 $ n \geq 10 $ 且为偶数时，若 $ p \leq \frac{n}{2} $，则 $ \overline{C_n} $ 是 $ p $-竞争图。
• 补图 $ \overline{C_8} $ 的边团覆盖数为 $ \theta_e(\overline{C_8}) = 6 $，且当 $ p \leq 5 $ 时是 $ p $-竞争图。
• $ \overline{C_6} $ 是 $ p $-竞争图当 $ p \leq 4 $，$ \overline{C_7} $ 是 $ p $-竞争图当 $ p \leq 1 $。
• 为奇数和偶数 $ n $ 分别提供了 $ \overline{C_n} $ 的 $ p $-边团覆盖的显式构造，证明了所推导边界的充分性。