[论文解读] Cycles are determined by their domination polynomials

Saieed Akbari, Mohammad Reza Oboudi|ArXiv.org|Aug 23, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文证明了环是通过其控制多项式唯一确定的，即没有任何其他非同构图共享相同的控制多项式。通过递归公式、p进估值分析以及在特定点的导数求值，作者表明：若一个图与环 $C_n$ 拥有相同的控制多项式，则该图必同构于 $C_n$，从而确立了对所有 $n \geq 1$，$C_n$ 均为 ${\cal D}$-唯一。此结果解决了控制多项式理论中的一个开放问题。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph of order $n$. A dominating set of $G$ is a set $S$ of vertices of $G$ so that every vertex of $G$ is either in $S$ or adjacent to a vertex in $S$. The domination polynomial of $G$ is the polynomial $D(G,x)=\sum_{i=1}^{n} d(G,i) x^{i}$, where $d(G,i)$ is the number of dominating sets of $G$ of size $i$. In this paper we show that cycles are determined by their domination polynomials.

研究动机与目标

• 解决关于环是否通过其控制多项式唯一确定的开放问题。
• 证明对所有正整数 $n$，$C_n$ 均为 ${\cal D}$-唯一，即没有任何非同构图共享其控制多项式。
• 将此结果扩展至证明轮图 $W_n = K_1 \vee C_{n-1}$ 同样为 ${\cal D}$-唯一。
• 使用代数与递归技术分析具有相同控制多项式的图的结构。
• 通过从多项式求值与导数导出的不变量，证明唯一与 $C_n$ 拥有相同控制多项式的图是 $C_n$ 本身。

提出的方法

• 采用环的控制多项式的递归公式 $D(C_n, x) = x(D(C_{n-1}, x) + D(C_{n-2}, x) + D(C_{n-3}, x))$。
• 使用 $p$-进估值 ${\rm ord}_3(D(C_n, -3))$ 分析具有相同控制多项式的图的结构。
• 在 $x = -1$ 处求值控制多项式及其一阶与二阶导数，以获得不变量 $\alpha_n = D(C_n, -1)$，$\beta_n = D'(C_n, -1)$，和 $\theta_n = D''(C_n, -1)$。
• 应用归纳法与模 9 算术分析递推关系中系数的 3-进估值。
• 利用 $D(G,x) = D(H,x)$ 蕴含 $G$ 与 $H$ 为 $k$-正则图且具有同构连通分量的事实，结合引理 1 与引理 2。
• 结合导数求值与模约束，排除 $G$ 为三个环的不相交并（即 $k=3$）的可能性，从而证明 $k=1$ 是唯一解。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个环 $C_n$ 是否都通过其控制多项式唯一确定，即 $C_n$ 是否为 ${\cal D}$-唯一？
• RQ2 是否存在除 $C_n$ 外的其他图与 $C_n$ 拥有相同的控制多项式？
• RQ3 从控制多项式导出的哪些不变量（例如在 $x = -1$、$x = -3$ 处的求值，以及导数）可将 $C_n$ 与其他图区分开？
• RQ4 ${\cal D}$-唯一性是否可推广至相关图类，如轮图 $W_n = K_1 \vee C_{n-1}$？
• RQ5 $C_n$ 的 ${\cal D}$-等价类的结构如何？其是否可能包含除 $C_n$ 外的其他图？

主要发现

• 对所有 $n \geq 1$，环 $C_n$ 均为 ${\cal D}$-唯一，即没有任何非同构图共享其控制多项式。
• 在 $x = -1$ 处的控制多项式求值结果为：若 $n \equiv 0 \pmod{4}$，则 $D(C_n, -1) = 3$；否则为 $-1$。
• 在 $x = -1$ 处的一阶导数满足：若 $n \equiv 0 \pmod{4}$，则 $D'(C_n, -1) = -n$；若 $n \equiv 1 \pmod{4}$，则 $D'(C_n, -1) = n$；否则为 $0$。
• 在 $x = -1$ 处的二阶导数为：若 $n \equiv 0 \pmod{4}$，则 $n(n-4)/2$；若 $n \equiv 1 \pmod{4}$，则 $-n(n-1)/2$；若 $n \equiv 2 \pmod{4}$，则 $n(n+2)/4$；否则为 $0$。
• 3-进估值 ${\rm ord}_3(D(C_n, -3))$ 为：若 $n \equiv 2 \pmod{3}$，则 $\lceil n/3 \rceil$；若 $n \equiv 0 \pmod{3}$，则 $\lceil n/3 \rceil + 1$；若 $n \equiv 1 \pmod{3}$，则为 $\lceil n/3 \rceil$ 或 $\lceil n/3 \rceil + 1$。
• 假设 $G$ 为三个环的不相交并会导致矛盾，通过导数求值排除该可能，从而证明 $G$ 必为单个环，故 $k=1$ 为唯一可能。