[论文解读] Cycles on Shimura varieties via geometric Satake

Liang Xiao, Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用 44

一句话总结

本文利用几何 Satake 定理，在上文的模 p 纤维之间构造了上同调对应，将仿射 Deligne-Lusztig 簇的不可约分支与中间上同调中的 Tate 类联系起来。在一般性条件下，证明了基本 Newton 垓的不可约分支的周期类生成了霍奇型 Shimura 簇中间上同调中的所有 Tate 类，为该情形下的 Tate 猜想提供了几何证据。

ABSTRACT

We construct (cohomological) correspondences between mod $p$ fibers of different Shimura varieties and describe the fibers of these correspondences by studying irreducible components of affine Deligne-Lusztig varieties. In particular, in the case of correspondences from a Shimura set to a Shimura variety, we obtain a description of the basic Newton stratum of the latter, and show that the irreducible components of the basic Newton stratum generate all the Tate classes in the middle cohomology of the Shimura variety, under a certain genericity condition. Along the way, we also determine the set of irreducible components of the affine Deligne-Lusztig variety associated to an unramified twisted conjugacy class.

研究动机与目标

• 通过几何 Satake 建立不同 Shimura 簇模 p 纤维之间上同调的几何框架。
• 当其维数为环境维数一半时，描述霍奇型 Shimura 簇的基本 Newton 垚的结构。
• 在一般性条件下，证明基本局部的不可约分支的周期类生成了中间上同调中的所有 Tate 类。
• 确定与无瑕扭曲共轭类相关的仿射 Deligne-Lusztig 簇的不可约分支集合。
• 在局部 shtuka 及其模空间的背景下推广几何对应，实现 Shimura 簇之间上同调的转移。

提出的方法

• 利用 p 进李群的几何 Satake 等价性，将表示与仿射 Grassmannian 上的层联系起来。
• 通过半无限轨道和 MV 循环分析仿射 Deligne-Lusztig 簇（ADLVs）的不可约分支。
• 利用局部 Hecke 栈和 perverse 层，在局部 shtuka 模空间之间构造上同调对应。
• 应用广义 Chevalley 限制映射，将局部 shtuka 模空间的上同调与自守表示联系起来。
• 在局部系统与 perverse 层的背景下应用 Jacquet-Langlands 转移，关联不同 Shimura 簇的上同调。
• 应用周期类映射与对偶性，将分支的基本类与上同调对应及交数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用几何 Satake 在 Shimura 簇的模 p 纤维之间构造上同调对应？
• RQ2 当维数 d 为环境维数一半时，霍奇型 Shimura 簇的基本 Newton 垚的结构是什么？
• RQ3 在一般性条件下，基本 Newton 垚的不可约分支的周期类是否生成了中间上同调中的所有 Tate 类？
• RQ4 与无瑕扭曲共轭类相关的仿射 Deligne-Lusztig 簇的不可约分支集合是什么？
• RQ5 在局部 shtuka 模空间上的上同调对应如何下降为 Shimura 簇上的对应？

主要发现

• 在维数 d（当 d 为环境维数一半时）的霍奇型 Shimura 簇中，基本 Newton 垚的不可约分支通过仿射 Deligne-Lusztig 簇的几何结构得以描述。
• 在自守表示满足一般性条件时，基本局部不可约分支的周期类生成了 Shimura 簇中间上同调中的所有 Tate 类。
• 与无瑕扭曲共轭类相关的仿射 Deligne-Lusztig 簇的不可约分支集合，完全由几何 Satake 对应与 MV 循环理论决定。
• 通过局部 Hecke 栈上的 perverse 层，在局部 shtuka 模空间之间构造了上同调对应，并给出了显式的周期类映射。
• 在局部 shtuka 模空间中，对应的基本类在迹映射下映射到其不动点子簇的基本类，推广了 Varshavsky 的迹公式。
• 在模空间中两个循环的交数对应于对偶上同调对应的复合，且与紧化方式的选择无关。