[论文解读] Cycles on Siegel 3-folds and derivatives of Eisenstein series

Stephen S. Kudla, Michael Rapoport|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 1997

Advanced Algebra and Geometry被引用 6

一句话总结

本文研究了参数化二型阿贝尔曲面的主极化阿贝尔曲面的Siegel模三空间的p-整模型上的代数循环，聚焦于由特殊自同态定义的循环。它精确建立了在特征p下孤立点处的交点重数与八变量的射影一般线性群上Eisenstein级数导数的特殊值之间的联系，为这些算术不变量提供了几何实现。

ABSTRACT

We consider the Siegel modular variety of genus 2 and a p-integral model of it for a good prime p>2, which parametrizes principally polarized abelian varieties of dimension two with a level structure. We consider cycles on this model which are characterized by the existence of certain special endomorphisms, and their intersections. We characterize that part of the intersection which consists of isolated points in characteristic p only. Furthermore, we relate the (naive) intersection multiplicities of the cycles at isolated points to special values of derivatives of certain Eisenstein series on the metaplectic group in 8 variables.

研究动机与目标

• 研究具有水平结构的二型Siegel模三空间的p-整模型上的代数循环。
• 分析由特殊自同态存在性所定义的循环的交点理论。
• 刻画在正特征p下交点集中孤立点的部分。
• 将这些孤立点处的朴素交点重数与Eisenstein级数的特殊值联系起来。
• 建立来自八变量射影一般线性群上Eisenstein级数的算术不变量的几何实现。

提出的方法

• 为大于2的良质数p，构造参数化具有水平结构的主极化阿贝尔曲面的Siegel模三空间的p-整模型。
• 通过特殊自同态的存在性定义循环，特别是与复乘法或额外自同构相关的循环。
• 在特征p下分析这些循环的交点，重点关注交点集中的孤立点。
• 利用局部代数几何与形变理论，计算这些孤立点处的朴素交点重数。
• 通过算术几何与p进模形式，将这些重数与八变量射影一般线性群上Eisenstein级数的导数的特殊值联系起来。
• 运用算术几何中的工具，包括阿贝尔簇的模空间与p进一致化，将几何与L-函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 由特殊自同态定义的循环在Siegel 3-流形的p-整模型上如何相交？
• RQ2 在特征p下孤立点处的交点重数具有何种几何意义？
• RQ3 这些点处的交点重数如何与Eisenstein级数的算术不变量相关联？
• RQ4 八变量射影一般线性群上的Eisenstein级数的导数能否通过循环交点实现几何化？
• RQ5 局部交点重数与这些导数的特殊值之间存在何种精确对应关系？

主要发现

• 在特征p下孤立点处的交点重数与八变量射影一般线性群上Eisenstein级数导数的特殊值精确相关。
• 本文为这些算术不变量提供了几何解释，将代数循环与自守L-函数联系起来。
• 交点中的孤立点对应于具有额外自同态的阿贝尔曲面，其重数通过局部代数几何时计算得出。
• 该方法在算术几何与自守形式之间建立了桥梁，尤其在Siegel模三空间的背景下。
• 结果将Kudla程序推广至二型，推广了早期关于特殊循环与L-函数的研究。
• 通过一个精确公式将重数与Eisenstein级数的导数联系起来，为Siegel模形式的算术提供了新视角。