[论文解读] Cycles with two blocks in $k$-chromatic digraphs

Ringi Kim, Seog‐Jin Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文通过证明任意不含2-块环 $c(k,\ell)$ 的 $k$-色有向图的色数至多为 $O((k+\ell)^2)$，解决了关于强连通有向图色数界限的猜想，优于先前的 $O((k+\ell)^4)$ 上界。此外，论文构造了一个反例，表明原始猜想不成立，并为不包含此类环的哈密顿有向图建立了紧致的退化性与色数界限。

ABSTRACT

Let $k$ and $\ell$ be positive integers. A cycle with two blocks $c(k,\ell)$ is an oriented cycle which consists of two internally (vertex) disjoint directed paths of lengths at least $k$ and $\ell$, respectively, from a vertex to another one. A problem of Addario-Berry, Havet and Thomassé (2007) asked if, given positive integers $k$ and $\ell$ such that $k+\ell\ge 4$, any strongly connected digraph $D$ containing no $c(k,\ell)$ has chromatic number at most $k+\ell-1$. In this paper, we show that such digraph $D$ has chromatic number at most $O((k+\ell)^2)$, improving the previous upper bound $O((k+\ell)^4)$ obtained by Cohen, Havet, Lochet and Nisse (2016). In fact, we are able to find a digraph which shows that the answer to the above problem is no. We also show that if in addition $D$ is Hamiltonian, then its underlying simple graph is $(k+\ell-1)$-degenerate and thus the chromatic number of $D$ is at most $k+\ell$, which is tight.

研究动机与目标

• 解决 Addario-Berry、Havet 和 Thomassé 关于不含 2-块环 $c(k,\ell)$ 的强连通有向图色数的猜想。
• 将避免 $c(k,\ell)$ 的 $k$-色有向图的色数上界从 $O((k+\ell)^4)$ 改进为 $O((k+\ell)^2)$。
• 构造一个反例，证明原始猜想中 $k+\ell-1$ 的界不成立。
• 为避免 $c(k,\ell)$ 的哈密顿有向图建立紧致的退化性与色数界限，表明其底图是 $(k+\ell-1)$-退化的。

提出的方法

• 引入一种新颖的结构分解方法，利用环树与外部弧分析不含 2-块环的有向图中顶点的邻域结构。
• 采用两阶段着色框架：首先使用 $k+2\ell-1$ 种颜色对内部结构 $F^{(1)}$ 着色，然后用两种颜色对外部弧 $F^{(2)}$ 着色，将两者组合成合法着色。
• 通过环树顺序的归纳法，证明由顶点 $\phi$-原像诱导的子图 $F^{(1)}$ 是 $(k+2\ell-2)$-退化的。
• 利用一个关键引理，表明每个顶点在前向或后向方向上至多有 $\ell-2$ 个外部邻居，从而限制邻域增长。
• 利用哈密顿性质，应用定理 1.5 中的退化性结果，证明此类有向图的底图是 $(k+\ell-1)$-退化的。
• 结合结构分析与退化性论证，通过 $F^{(1)}$ 与 $F^{(2)}$ 的乘积着色推导出最终的色数上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 不含 2-块环 $c(k,\ell)$ 的强连通有向图的色数是否如猜想所言被 $k+\ell-1$ 所限制？
• RQ2 避免 $c(k,\ell)$ 的 $k$-色有向图的色数能否被 $k+\ell$ 的二次函数所界定？
• RQ3 若一个有向图不含 $c(k,\ell)$ 且具有哈密顿环，是否意味着其底图是 $(k+\ell-1)$-退化的？
• RQ4 能否构造一个反例以证伪原始猜想中 $k+\ell-1$ 的紧致界？

主要发现

• 任何不含 2-块环 $c(k,\ell)$ 的强连通有向图的色数至多为 $2(2k-3)(k+2\ell-1)$，即 $O((k+\ell)^2)$。
• 论文构造了一个有向图，证明原始猜想中 $k+\ell-1$ 的界不成立，从而说明该猜想在一般情况下不成立。
• 对于不含 $c(k,\ell)$ 的哈密顿有向图，其底图是 $(k+\ell-1)$-退化的，因此色数至多为 $k+\ell$，且该界是紧致的。
• 证明了由 $\phi$-函数下顶点的原像诱导的子图 $F^{(1)}$ 是 $(k+2\ell-2)$-退化的，从而支持了更优的着色上界。
• 证明表明每个顶点在前向或后向方向上至多有 $\ell-2$ 个外部邻居，这对控制邻域大小至关重要。
• 最终着色通过两部分的乘积着色构造：$F^{(1)}$ 使用 $k+2\ell-1$ 种颜色，$F^{(2)}$ 使用 2 种颜色，从而对核心子图得到一个使用 $2(k+2\ell-1)$ 种颜色的合法着色。