[论文解读] Cyclic and Quasi-Cyclic LDPC Codes on Row and Column Constrained Parity-Check Matrices and Their Trapping Sets

Qin Huang, Qiuju Diao+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2010

Error Correcting Code Techniques参考文献 67被引用 13

一句话总结

本文提出了一种通过循环码的循环矩阵校验矩阵的列和行置换，从循环码导出循环和准循环LDPC码的方法，实现了高效的编码与译码。证明了在行-列约束下，某些有限几何和有限域LDPC码在最小距离以下无有害停顿集，导致误码地板由最小重量主导，性能接近最优，误比特率低至$10^{-11}$。

ABSTRACT

This paper is concerned with construction and structural analysis of both cyclic and quasi-cyclic codes, particularly LDPC codes. It consists of three parts. The first part shows that a cyclic code given by a parity-check matrix in circulant form can be decomposed into descendant cyclic and quasi-cyclic codes of various lengths and rates. Some fundamental structural properties of these descendant codes are developed, including the characterizations of the roots of the generator polynomial of a cyclic descendant code. The second part of the paper shows that cyclic and quasi-cyclic descendant LDPC codes can be derived from cyclic finite geometry LDPC codes using the results developed in first part of the paper. This enlarges the repertoire of cyclic LDPC codes. The third part of the paper analyzes the trapping sets of regular LDPC codes whose parity-check matrices satisfy a certain constraint on their rows and columns. Several classes of finite geometry and finite field cyclic and quasi-cyclic LDPC codes with large minimum weights are shown to have no harmful trapping sets with size smaller than their minimum weights. Consequently, their performance error-floors are dominated by their minimum weights.

研究动机与目标

• 提出一种系统化方法，通过矩阵置换从现有循环码生成循环和准循环LDPC码。
• 分析后代循环和准循环码的结构特性，特别是其生成多项式根的性质。
• 研究RC约束LDPC码的停顿集结构，并确定有害小停顿集缺失的条件。
• 证明具有大最小距离的有限几何和有限域LDPC码，其误码地板由最小距离主导，原因是缺乏小停顿集。
• 通过证明循环码可转换为准循环形式而不损失结构，统一编码与译码优势。

提出的方法

• 通过列和行置换，将循环码的循环矩阵形式校验矩阵分解为后代循环和准循环码。
• 通过分析生成多项式的根，表征每个后代循环码的生成多项式根，以分析其代数结构。
• 将该分解框架应用于有限几何LDPC码，生成新的循环和准循环LDPC码族。
• 在校验矩阵上施加行-列（RC）约束，以确保Tanner图的围长至少为6，并避免4-环。
• 利用RC约束通过分析由错误模式诱导的子图及奇数度校验节点计数，研究停顿集。
• 利用QC结构实现高效硬件译码，利用循环结构通过移位寄存器实现线性复杂度编码。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地将循环LDPC码转换为准循环形式，同时保持其码结构和性能特性？
• RQ2 从父循环码导出的循环和准循环后代码的基本结构特性是什么，尤其是生成多项式根的性质？
• RQ3 在何种条件下，RC约束LDPC码可避免大小小于其最小距离的有害停顿集？
• RQ4 具有大最小距离的有限几何和有限域LDPC码是否表现出由最小距离主导的误码地板，而非由停顿集主导？
• RQ5 能否在不损害码性能或复杂度的前提下，实际实现循环编码与准循环译码的结合？

主要发现

• 基于GF(32)上阶为32的拉丁方构造的循环LDPC码，其最小距离至少为36，且不存在小于34的停顿集，证实最小距离是误码地板的主要限制因素。
• 大规模计算机搜索未发现大小小于34的有害停顿集，仅识别出两个${\cal T}(36,0)$停顿集，支持最小距离为36的结论。
• 使用最小和FPGA译码器时，该码在BLER为$10^{-9}$时距离球体打包界仅1.1 dB，且在误比特率低至$10^{-11}$时仍无可见误码地板。
• 基于GF($2^5$)的QC-LDPC码${\cal C}_{LS,qc,f}$的参数为$n=992$，$n-k=31$，$d_{\min} \geq 34$，且不存在大小小于$2^5 - 4 = 28$的停顿集。
• 对于$1 < \kappa < 2^s - 4$，任何大小为$\kappa$的停顿集中奇数度校验节点数$\tau$满足$\tau > 4\kappa$，证实了无小有害停顿集的存在。
• 满足RC约束的有限几何和有限域基LDPC码被证明不存在小于其最小距离的停顿集，导致误码地板由最小距离主导。