[论文解读] Cyclic Codes from APN and Planar Functions

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 9

一句话总结

该论文利用几乎完美非线性（APN）函数和广义平面函数，在有限域上构造了最优及近乎最优的循环码，借助其代数性质确保了较高的最小距离和灵活的维度。该方法得到了最小重量的紧致下界，多个码类达到最优性，适用于纠错和密码学领域。

ABSTRACT

Cyclic codes are a subclass of linear codes and have applications in consumer electronics, data storage systems, and communication systems as they have efficient encoding and decoding algorithms. In this paper, almost perfect nonlinear functions and planar functions over finite fields are employed to construct a number of classes of cyclic codes. Lower bounds on the minimum weight of some classes of the cyclic codes are developed. The minimum weights of some other classes of the codes constructed in this paper are determined. The dimensions of the codes are flexible. Many of the codes presented in this paper are optimal or almost optimal in the sense that they meet some bound on linear codes. Ten open problems regarding cyclic codes from highly nonlinear functions are also presented.

研究动机与目标

• 提出一种系统化方法，利用有限域上的APN函数与平面函数构造具有高最小距离的循环码。
• 研究由高度非线性函数导出的循环码的结构特性，特别关注其维度与最小重量。
• 确定所构造码在已知线性码界下达到最优或近乎最优的条件。
• 分析由这些函数导出的序列的线性跨度与最小多项式，以支持高效编码与译码。
• 识别在二元与非二元情形下，由高度非线性函数构造循环码时存在的开放问题。

提出的方法

• 利用 $\mathrm{GF}(q^m)$ 上的几乎完美非线性（APN）函数与平面函数，定义周期为 $n = q^m - 1$ 的序列。
• 通过生成多项式 $g(x) = \frac{x^n - 1}{\gcd(S(x), x^n - 1)}$ 构造循环码 $\mathcal{C}_s$，其中 $S(x)$ 为序列的生成函数。
• 应用 $q$-循环陪集模 $n = q^m - 1$ 分析码的结构并确定其生成多项式。
• 利用最小多项式与线性跨度计算，刻画序列及其关联码的特性。
• 通过修改定义序列，引入对偶构造 $\mathcal{C}_{\check{s}}$，得到具有改进参数的子码。
• 利用迹函数与域元素的最小多项式，推导生成多项式的显式表达式及最小距离的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地利用APN函数与平面函数构造具有高最小距离的循环码？
• RQ2 由 $\mathrm{GF}(q^m)$ 上的APN与平面函数构造的循环码的最小重量与维度特性为何？
• RQ3 在何种条件下，这些构造的码相对于已知线性码界达到最优或近乎最优？
• RQ4 由APN函数导出的序列的线性跨度与最小多项式如何影响所生成循环码的结构与性能？
• RQ5 在构造由高度非线性函数生成的最优循环码时，存在哪些开放问题，特别是在二元与非二元情形下？

主要发现

• 当 $m=5$ 时，二元循环码 $\mathcal{C}_{\check{s}}$ 的参数为 $[31, 20, 6]$，该码为最优码。
• 当 $m=7$ 时，码 $\mathcal{C}_{\check{s}}$ 的参数为 $[127, 98, 8]$，虽非最优，但可能是该长度与维度下已知的最佳二元循环码。
• 由Welch APN函数 $f(x) = x^{2^t + 3}$ 定义的序列的线性跨度为 $4m + 1$，其中 $m \geq 7$ 为奇数。
• 序列 $\check{s}^\infty$ 的最小多项式为 $\mathbb{M}_{\check{s}}(x) = (x-1)m_{\alpha^{-1}}(x)m_{\alpha^{-3}}(x)m_{\alpha^{-(2^t+1)}}(x)m_{\alpha^{-(2^t+2)}}(x)$。
• 由逆APN函数与首个Niho APN函数导出的序列具有较大的线性跨度，适合作为流密码中的密钥流。
• 识别出十个关于由高度非线性函数构造循环码的开放问题，尤其关注最优性与参数界的问题。