[论文解读] Cyclic Codes from Dickson Polynomials

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文利用小次数的第一类切比雪夫多项式，在有限域上构造了最优及近乎最优的循环码。通过利用这些多项式及其相关序列的代数结构，作者推导出具有灵活维度的循环码，并建立了最小重量的下界或精确值，表明所构造的大多数码均为最优或近似最优。

ABSTRACT

Due to their efficient encoding and decoding algorithms cyclic codes, a subclass of linear codes, have applications in consumer electronics, data storage systems, and communication systems. In this paper, Dickson polynomials of the first and second kind over finite fields are employed to construct a number of classes of cyclic codes. Lower bounds on the minimum weight of some classes of the cyclic codes are developed. The minimum weights of some other classes of the codes constructed in this paper are determined. The dimensions of the codes obtained in this paper are flexible. Most of the codes presented in this paper are optimal or almost optimal in the sense that they meet some bound on linear codes. Over ninety cyclic codes of this paper should be used to update the current database of tables of best linear codes known. Among them sixty are optimal in the sense that they meet some bound on linear codes and the rest are cyclic codes having the same parameters as the best linear code in the current database maintained at http://www.codetables.de/.

研究动机与目标

• 提出一种系统化的方法，利用有限域上的第一类切比雪夫多项式构造循环码。
• 研究所得循环码的最小距离与维度，特别关注其最优性。
• 探讨切比雪夫多项式与已知循环码族（如BCH码）之间的关系。
• 证明所提出的构造方法可产生在最小距离方面通常最优或近乎最优的码。
• 为由低次切比雪夫多项式导出的若干码类提供最小重量的显式下界或精确值。

提出的方法

• 在有限域 GF(q) 上，利用小次数的第一类切比雪夫多项式生成周期为 n = q^m - 1 的序列。
• 通过生成多项式 g(x) = (x^n - 1) / gcd(S(x), x^n - 1) 定义循环码，其中 S(x) 是由切比雪夫多项式导出的序列的生成函数。
• 利用迹函数及模 n = q^m - 1 的 q-循环陪集性质，分析序列的线性跨度与码的维度。
• 在 GF(2^m) 上应用引理14（指数和估计）以限制序列集的最大相关性，尤其针对二元序列。
• 利用切比雪夫多项式的代数性质及其相关迹函数，分析码的重量分布与最小距离。
• 通过结构与参数比较，确定所构造码与已知码族（如BCH码）之间的等价性或非等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用小次数的第一类切比雪夫多项式构造出最小距离最优或近乎最优的循环码？
• RQ2 由有限域上的切比雪夫多项式导出的循环码的最小重量是否具有精确值或下界？
• RQ3 所构造码的维度如何随切比雪夫多项式的次数与基域特征的变化而变化？
• RQ4 所构造的码在多大程度上与已知码族（如BCH码）等价？
• RQ5 由切比雪夫多项式导出的序列集的最大相关性是多少？其与码的最优性有何关联？

主要发现

• 由小次数第一类切比雪夫多项式构造的循环码在最小距离方面通常为最优或近乎最优。
• 对于 GF(2^m) 上由 D₃(x, a) 导出的二元序列，当 m 为奇数且 m ≥ 3 时，集合 S̄ = S ∪ {s(∞)^∞} 的最大相关性为 1 + 2^{(m+1)/2}，该值与 Sidelnikov 和 Leveinshtein 的界一致。
• 当 a = 0 时，序列 s(a)^∞ 的线性跨度为 m 或 m+1；否则为 2m 或 2m+1，表明其具有良好的复杂度特性。
• 序列集 S 的大小为 2^m，且所有序列互不相同，确保了一组相关性受控的丰富序列族。
• 所构造的码展现出灵活的维度，其大小取决于切比雪夫多项式的次数与域的特征。
• 在若干情况下，由切比雪夫多项式导出的码 𝒞_s 被证明与BCH码等价，尽管其维度与最小距离是通过所提出的方法显式确定的。