[论文解读] Cyclic codes over the ring $\mathbb{F}_p[u,v] / \langle u^k,v^2,uv-vu angle$

Bappaditya Ghosh, Pramod Kumar Kewat|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文研究了有限非链环 $\mathbb{F}_p[u,v]/\langle u^k, v^2, uv - vu \rangle$ 上的循环码，通过基于投影的拉回构造，从已知的 $\mathbb{F}_p[u]/\langle u^k \rangle$ 上的循环码中确立了这些码的唯一一组生成元。主要贡献在于对这些码的秩和汉明距离进行了表征，特别是针对长度 $n = p^l$ 的情况，利用 $p$-进展开和生成多项式上的归纳法推导出显式公式。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number. In this paper, we discuss the structures of cyclic codes over the ring $ \mathbb{F}_p[u, v] / \langle u^k, v^2, uv-vu angle$. We find a unique set of generators for these codes. We also study the rank and the Hamming distance of these codes.

研究动机与目标

• 确定有限非链环 $R = \mathbb{F}_p[u,v]/\langle u^k, v^2, uv - vu \rangle$ 上循环码的结构性质。
• 通过从 $\mathbb{F}_p[u]/\langle u^k \rangle$ 上的码拉回构造，为 $R$ 上任意长度 $n$ 的循环码建立唯一一组生成元。
• 利用同构定理和归纳法，计算 $R$ 上循环码的秩和最小生成集，特别是针对非正则元素。
• 基于生成元指数的 $p$-进展开，为 $n = p^l$ 时循环码的汉明距离推导出显式公式。

提出的方法

• 作者定义了从环 $R[x]/\langle x^n - 1 \rangle$ 到 $\mathbb{F}_p[u]/\langle u^k \rangle[x]/\langle x^n - 1 \rangle$ 的投影映射，将简单环上的已知生成结构提升到扩展环上。
• 利用同构定理，通过分析投影映射的核与像，计算 $R$ 上循环码 $C$ 的最小生成集。
• 对于非正则生成元，应用归纳法以克服直接使用除法算法的失败。
• 通过分析格雷像，将汉明距离的计算问题约化为 $\mathbb{F}_p[x]/\langle x^n - 1 \rangle$ 上的循环码，特别是针对 $n = p^l$ 的情况。
• 利用生成元 $(x-1)^{t_{2k}}$ 的指数 $t_{2k}$ 的 $p$-进展开来分类情形并推导距离公式。
• 使用关于子码和距离传播的引理（如引理 5.3），通过归纳法计算由 $p$-次分圆多项式乘积生成的码的最小距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在环 $\mathbb{F}_p[u,v}/\langle u^k, v^2, uv - vu \rangle$ 上，任意长度 $n$ 的循环码的唯一一组生成元是什么？
• RQ2 当生成元涉及非正则元素时，如何计算此类码的秩和最小生成集？
• RQ3 当 $n = p^l$ 时，该环上循环码的汉明距离是多少？它如何依赖于生成元指数的 $p$-进展开？
• RQ4 在什么条件下，该环上的循环码是自由的？其生成结构是什么？

主要发现

• 通过分析投影映射到 $R_{u^k,p}[x]/\langle x^n - 1 \rangle$ 的核与像，利用同构定理，计算出 $R_{u^k,v^2,p}$ 上循环码 $C$ 的秩。
• 当 $n = p^l$ 时，若 $t_{2k} \leq p^{l-1}$，则汉明距离 $d(C)$ 为 $2$，其中 $t_{2k}$ 是生成元 $(x-1)^{t_{2k}}$ 的指数。
• 当 $t_{2k}$ 的 $p$-进展开长度为 $q$ 且全为零时，$d(C) = (b_{l-1}+1)(b_{l-2}+1)\cdots(b_{l-q}+1)$，其中 $b_i$ 为 $t_{2k}$ 的 $p$-进数字。
• 当 $t_{2k}$ 的 $p$-进展开长度为 $q$ 且非全零时，$d(C) = 2(b_{l-1}+1)(b_{l-2}+1)\cdots(b_{l-q}+1)$。
• 自由循环码在 $R_{u^k,v^2,p}$ 上被表征为：由单个正则多项式生成，且其在投影下的像为 $\mathbb{F}_p[u]/\langle u^k \rangle$ 上自由循环码的生成元。
• 实例表明，$R_{u^3,v^2,2}$ 上生成元为 $\langle vu^2g^3 \rangle$ 的码具有秩 1 和汉明距离 4，而具有更复杂生成元的码则具有更高秩和更低距离，与理论界限一致。