[论文解读] Cyclic Cohomology of Crossed Coproduct Coalgebras

R. Akbarpour, Masoud Khalkhali|ArXiv.org|Jul 23, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文通过使用余圆柱模 $C\natural\mathcal{H}$，将循环上同调理论推广至余交叉积余代数 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$，建立了该余交叉积的循环模与 $C\natural\mathcal{H}$ 的对角之间的同构。本文构造了一个逼近 $HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H})$ 的谱序列，明确解释了 $\mathsf{E}^0$、$\mathsf{E}^1$ 和 $\mathsf{E}^2$ 项，并证明当 $\mathcal{H}$ 为余半单时，余交叉积的循环上同调同构于余不变量模 $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ 的循环上同调。

ABSTRACT

We extend our work in~\cite{rm01} to the case of Hopf comodule coalgebras. We introduce the cocylindrical module $C atural^{} \mathcal{H}$, where $\mathcal{H}$ is a Hopf algebra with bijective antipode and $C$ is a Hopf comodule coalgebra over $\mathcal{H}$. We show that there exists an isomorphism between the cocyclic module of the crossed coproduct coalgebra $C > \blacktriangleleft \mathcal{H} $ and $Δ(C atural^{}\mathcal{H}) $, the cocyclic module related to the diagonal of $C atural^{} \mathcal{H}$. We approximate $HC^{\bullet}(C > \blacktriangleleft \mathcal{H}) $ by a spectral sequence and we give an interpretation for $ \mathsf{E}^0, \mathsf{E}^1$ and $\mathsf{E}^2 $ terms of this spectral sequence.

研究动机与目标

• 将循环上同调方法从余交叉积代数推广至余交叉积余代数。
• 为具有双射对合的霍普夫代数 $\mathcal{H}$ 上的霍普夫余模余代数 $C$ 构造一个余圆柱模 $C\natural\mathcal{H}$。
• 建立余交叉积 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 的循环模与 $C\natural\mathcal{H}$ 的对角之间的同构。
• 通过谱序列逼近 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 的循环上同调，并解释其初始项。
• 为余不变量模 $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ 提供上同调解释，其为先前工作中发现的余不变量同调的对偶。

提出的方法

• 从霍普夫余模余代数 $C$ 和具有双射对合的霍普夫代数 $\mathcal{H}$ 构造余圆柱模 $C\natural\mathcal{H}$。
• 将对角 $\Delta(C\natural\mathcal{H})$ 定义为在 $A(n,n) = (C\otimes\mathcal{H})^{\bigotimes(n+1)}$ 上的拟余循环对象，其算子由水平与垂直结构诱导。
• 应用余圆柱模的埃伦伯格-齐尔伯定理，得到 $\Delta(C\natural\mathcal{H})$ 与全复形 $Tot^\bullet(C\natural\mathcal{H})$ 之间的拟同构，从而诱导出收敛于 $HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H})$ 的谱序列。
• 通过子复形 $\mathsf{F}^i_{pq}$ 对全复形 $Tot^\bullet$ 进行过滤，以定义谱序列，其中 $\mathsf{E}^0$-项为 $\mathsf{C}^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W})$。
• 将 $\mathsf{E}^1$-项识别为 $\mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W}$ 的 $\mathcal{H}$-上同调的上同调，将 $\mathsf{E}^2$-项识别为系数在 $\mathsf{W}$ 中的 $\mathcal{H}$-上同调模的循环上同调。
• 利用余半单 $\mathcal{H}$ 存在同伦算子的事实，证明当 $p > 0$ 时 $H^p(\mathcal{H}, M) = 0$，从而导致谱序列在 $\mathsf{E}^2$ 项坍缩，并推出循环上同调的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用余圆柱模结构计算余交叉积余代数 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 的循环上同调？
• RQ2 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 的循环模与 $C\natural\mathcal{H}$ 的对角之间有何关系？
• RQ3 逼近 $HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H})$ 的谱序列中，$\mathsf{E}^0$、$\mathsf{E}^1$ 和 $\mathsf{E}^2$ 项的解释是什么？
• RQ4 余不变量模 $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ 的上同调与余交叉积的循环上同调之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下谱序列会坍缩？这对 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 的循环上同调有何影响？

主要发现

• 当 $\mathcal{H}$ 为余半单时，余交叉积余代数 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 的循环上同调同构于余不变量模 $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ 的循环上同调。
• 谱序列的 $\mathsf{E}^0$-项同构于复形 $\mathsf{C}^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W})$，其微分为 $\boldsymbol{\delta}$。
• $\mathsf{E}^1$-项为 $H^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W})$，其微分为 $\mathfrak{b} + \mathbf{u}\mathfrak{B}$。
• $\mathsf{E}^2$-项为 $HC^q(H^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}})); \mathsf{W})$，即系数在 $\mathsf{W}$ 中的 $\mathcal{H}$-上同调模的循环上同调。
• 对于余半单霍普夫代数 $\mathcal{H}$，谱序列在 $\mathsf{E}^2$ 项坍缩，且有 $HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}) \simeq HC^\bullet(\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C))$。
• 在相同余半单条件下，$C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 的霍赫希尔德上同调也同构于 $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ 的霍赫希尔德上同调。