[论文解读] Cyclic covers of the projective line, their jacobians and endomorphisms

Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|Aug 16, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文研究了由 $ y^p = f(x) $ 定义的射影直线的循环覆盖，重点关注其雅可比簇的结构与自同态环。证明当 $ f(x) $ 是次数 $ n \geq 5 $ 的不可约多项式且伽罗瓦群为 $ \mathbf{S}_n $ 或 $ \mathbf{A}_n $ 时，雅可比簇的自同态环恰好为 $ \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $，且该环是极大交换环；若 $ p $ 为费马素数，则自同态环精确为 $ \mathbf{Z}[\zeta_p] $。

ABSTRACT

We study the endomorphism ring $End(J(C))$ of the complex jacobian $J(C)$ of a curve $y^p=f(x)$ where $p$ is an odd prime and $f(x)$ is a polynomial with complex coefficiens of degree $n>4$ and without multiple roots. Assume that all the coefficients of $f$ lie in a (sub)field $K$ and the Galois group of $f$ over $K$ is either the full symmetric group $S_n$ or the alternating group $A_n$. Then we prove that $End(J(C))$ is the ring of integers in the in the $p$th cyclotomic field, if $p$ is a Fermat prime (e.g., $p=3,5,17,257$). Similar results for $p=2$ (the case of hyperelliptic curves) were obtained by the author in Math. Res. Lett. 7(2000), 123--132.

研究动机与目标

• 确定复数域上循环覆盖 $ y^p = f(x) $ 的雅可比簇的自同态环结构。
• 建立 $ \mathbf{Z}[\delta_p] $ 是 $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $ 中极大交换子环的条件，其中 $ \delta_p $ 是由 $ y \mapsto \zeta_p y $ 诱导的自同构。
• 证明当 $ p $ 为费马素数时，自同态环恰好为 $ \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $，并分析此类雅可比簇自积的霍奇猜想与塔特猜想。
• 探讨伽罗瓦群对称性与 $ p $-进塔特模在约束自同态代数方面的作用。

提出的方法

• 使用伽罗瓦理论技术分析 $ \mathrm{Gal}(K) $ 在雅可比簇的 $ p $-挠点与 $ p $-进塔特模上的作用。
• 应用 Nakayama 引理研究 $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $ 中 $ \delta_p $ 的中心化子结构，特别是模 $ \eta $ 的情形，其中 $ \eta $ 是 $ \mathbf{Z}_p[\delta_p] $ 中的单位根。
• 模 $ \eta $ 约化以分析 $ \mathrm{Gal}(K) $-模 $ J^{(f,p)}(\eta) $，在给定伽罗瓦群假设下，该模被证明具有极简结构。
• 运用单代数理论与罗萨蒂对合排除 $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 的中心化子大于其自身本身的可能。
• 利用 Ribet 定理处理 $ p = 3 $ 的情形，其中若重数 $ n_\sigma $ 与 $ n_{\bar{\sigma}} $ 互素，则自积的霍奇猜想成立。
• 证明 $ \mathrm{End}^0(J^{(f,p)}) $ 是 $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 上的中心单代数，且该结构仅在中心化子为 $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 时可能成立，从而导出主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于循环覆盖 $ y^p = f(x) $，在何种条件下 $ \mathbf{Z}[\delta_p] $ 是 $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $ 中的极大交换子环？
• RQ2 在何种条件下，此类覆盖的雅可比簇的自同态环恰好为 $ \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $？
• RQ3 当 $ p = 3 $ 且满足适当的伽罗瓦群与次数条件时，自积的霍奇猜想是否成立？
• RQ4 当 $ K $ 包含 $ \sqrt{-3} $ 时，此类雅可比簇自积的塔特猜想是否可被验证？
• RQ5 $ p $-进塔特模与 $ J^{(f,p)}(\eta) $ 上的伽罗瓦作用对自同态代数施加了何种约束？

主要发现

• 对于 $ f(x) \in K[x] $ 为不可约多项式且次数 $ n \geq 5 $，伽罗瓦群为 $ \mathbf{S}_n $ 或 $ \mathbf{A}_n $ 的情形，环 $ \mathbf{Z}[\delta_p] $ 是 $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $ 中的极大交换子环。
• 若 $ p $ 为费马素数（例如 $ p = 3, 5, 17, 257 $），则 $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) = \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $，即自同态环恰好为分圆域中的整数环。
• 当 $ p = 3 $ 且 $ 3 \nmid n-1 $ 时，$ J^{(f,3)} $ 的每个自积上的每个霍奇类均为除子类的乘积的线性组合，因此霍奇猜想对所有此类自积成立。
• 若 $ K $ 为包含 $ \sqrt{-3} $ 的数域，则 $ J^{(f,3)} $ 的每个自积上的每个塔特类也均为除子类乘积的线性组合，因此塔特猜想成立。
• 自同态代数 $ \mathrm{End}^0(J^{(f,p)}) $ 是 $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 上的中心单代数，且该结构仅在 $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 为极大交换时可能，从而导出主要结论。
• 当 $ 3 \nmid n-1 $ 时，$ \delta_3^* $ 在 $ H^{1,0}(J^{(f,3)}) $ 上的特征值重数 $ n_\sigma $ 与 $ n_{\bar{\sigma}} $ 互素，根据 Ribet 定理，这确保了霍奇猜想成立。