[论文解读] Cyclic Homologies of Crossed Modules of Algebras

Гурам Донадзе, Nick Inassaridze+2 more|ArXiv.org|Dec 3, 2008

Rings, Modules, and Algebras参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文为非单位非交换代数的交叉模发展了余三元循环同调理论，并建立了比较循环同调与余三元循环同调的长正合同调序列，推广了相对循环同调的正合序列。本文将Wodzicki的余化定理推广至交叉模，并证明了交叉模的单纯复形同调与其余三元循环同调之间通过谱序列论证构成一个长正合序列。

ABSTRACT

The Hochschild and (cotriple) cyclic homologies of crossed modules of (not-necessarily-unital) associative algebras are investigated. Wodzicki's excision theorem is extended for inclusion crossed modules in the category of crossed modules of algebras. The cyclic and cotriple cyclic homologies of crossed modules are compared in terms of long exact homology sequence, generalising the relative cyclic homology exact sequence.

研究动机与目标

• 在非单位结合代数的交叉模范畴中发展余三元循环同调理论。
• 通过长正合同调序列比较交叉模的循环同调与其余三元循环同调。
• 将相对循环同调正合序列推广至交叉模的设定。
• 将Wodzicki的余化定理推广至代数的包含交叉模。
• 通过谱序列论证，建立交叉模的单纯复形同调与其余三元循环同调之间的联系。

提出的方法

• 作者使用单纯方法，并通过单纯复形构造定义交叉模的循环同调。
• 他们应用Barr-Beck余三元解析，构造交叉模在交叉代数范畴中的单纯解析。
• 从解析的Hochschild与循环链复形构造双复形结构，进而产生谱序列。
• 通过分析谱序列，证明其在E²页退化，从而得到总同调与余三元循环同调之间的同构。
• 利用半直积代数的非连通性，证明了某些增广单纯向量空间的同调平凡性。
• 通过复形的短正合序列及其诱导的同调长正合序列推导出长正合序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为非单位结合代数的交叉模定义余三元循环同调？
• RQ2 交叉模的循环同调与其余三元循环同调之间存在何种关系？
• RQ3 Wodzicki的余化定理是否可推广至代数的包含交叉模？
• RQ4 相对循环同调正合序列是否可推广至交叉模的设定？
• RQ5 在交叉模的循环同调与余三元循环同调之间，其比较背后的谱序列结构为何？

主要发现

• 交叉模 (R,A,ρ) 的余三元循环同调同构于其单纯解析所构造的双复形的总复形同调。
• 建立了交叉模的循环同调、其余三元循环同调以及后者平移版本之间的长正合同调序列。
• 与双复形相关的谱序列在E²页退化，从而得到同构 H_{n+1}(γ(M,R,μ)) ≅ ξHC_n(M,R,μ)，其中 n ≥ 0。
• Hochschild与循环同调的余化定理被推广至代数的包含交叉模。
• 交叉模的单纯复形同调与其余三元循环同调之间构成一个长正合序列，推广了经典的相对循环同调正合序列。
• 在底层单纯代数为非连通的假设下，证明了增广单纯向量空间 β_n 与 γ_n 的同调平凡性。