[论文解读] Cyclic homology of crossed products

Graciela Carboni, Jorge A. Guccione+1 more|ArXiv.org|May 5, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文为交叉积 $E = A\#_f H$ 构造了一个简化的混合复形，用于计算其 Hochschild、循环、负和周期同调，其中 $H$ 是一个霍普夫代数，$f$ 是一个卷积可逆的上闭链。该工作在相对设定下进行，即存在一个在 $H$ 作用下稳定的子代数 $K \subseteq A$，并推广了以往的谱序列。证明了新复形与标准复形同伦等价，从而得到两个收敛于 $E$ 的相对循环同调的谱序列。该方法依赖于扰动理论和相对同调代数的结果，扩展了非交换几何与霍普夫代数上同调中的先前工作。

ABSTRACT

We obtain a mixed complex, simpler that the canonical one, given the Hochschild, cyclic, negative and periodic homology of a crossed product E=A#fH, where H is an arbitrary Hopf algebra and f is a convolution invertible cocycle with values in A. Actually, we work in the more general context of relative cyclic homology. Specifically, we consider a subalgebra K of A which is stable under the action of H, and we find a mixed complex computing the Hochschild, cyclic, negative and periodic homology of E relative to K. As an application we obtain two spectral sequences converging to the cyclic homology of E relative to K. The first one in the general setting and the second one (which generalizes those previously found by several authors) when f takes its values in K.

研究动机与目标

• 为计算交叉积 $E = A\#_f H$ 的 Hochschild、循环、负和周期同调，构建一个更简单的混合复形。
• 将计算推广至相对设定，其中子代数 $K \subseteq A$ 关于 $H$ 的作用是稳定的，从而支持相对同调理论。
• 将现有针对对称积的循环同调谱序列推广至具有非平凡上闭链的交叉积情形。
• 建立新复形与标准混合复形之间的同伦等价性，确保其正确性与可计算性。
• 提供一个当 $f$ 取值于 $K$ 时适用的框架，从而恢复并扩展 [K-R] 与 [A-K] 中的结果。

提出的方法

• 为 $K$-代数 $E = A\#_f H$ 构造一个混合复形 $(\widehat{X}, \widehat{d}, \widehat{D})$，无需假设 $f$ 是卷积可逆的。
• 利用扰动引理及 [G-G] 中的结果，在 $f$ 卷积可逆时简化该复形。
• 在卷积可逆性条件下，定义一个与 $\widehat{X}$ 同构的、更简单的混合复形 $(\overline{X}, \overline{d}, \overline{D})$。
• 利用霍普夫交叉积中弱作用与上闭链扭变的结构，定义微分与康奈斯算子。
• 应用相对同调代数技术计算相对于 $K$ 的同调，保持莫里塔不变性与非交换商代数结构。
• 推导出两个谱序列：一个在一般设定下成立，另一个在 $f$ 取值于 $K$ 时成立，二者均收敛于 $E$ 的相对循环同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个更简单的混合复形，以计算交叉积 $E = A\#_f H$ 的 Hochschild、循环、负和周期同调？
• RQ2 该计算如何推广至相对设定，即子代数 $K \subseteq A$ 关于 $H$ 作用稳定的情形？这对非交换商代数有何影响？
• RQ3 在何种条件下，新混合复形与标准复形同伦等价？
• RQ4 该方法能否恢复或推广现有针对对称积循环同调的谱序列，特别是在 $f$ 取值于 $K$ 的情形下？
• RQ5 卷积可逆性在简化混合复形及构建谱序列过程中起到何种作用？

主要发现

• 本文构造了一个混合复形 $(\overline{X}, \overline{d}, \overline{D})$，当 $f$ 卷积可逆时，其与标准归一化混合复形同构，从而确保其正确计算了 $E = A\#_f H$ 的 Hochschild、循环、负和周期同调。
• 复形 $\widehat{X}$ 的定义不依赖于 $f$ 的卷积可逆性，因此适用范围更广。
• 当 $f$ 卷积可逆时，$\widehat{X}$ 与更简单的复形 $\overline{X}$ 同构，后者是主要的计算工具。
• 构造了两个谱序列：一个在一般设定下收敛于 $E$ 的相对循环同调，另一个在 $f$ 取值于 $K$ 时推广了先前结果。
• 该方法与标准复形同伦等价，验证了其在同调计算中的有效性。
• 结果统一并推广了 [A-K]、[K-R] 与 [G-J] 中的早期谱序列，尤其在非平凡上闭链与非可分基代数的情形下。