[论文解读] Cyclic homology of Hopf Galois extensions and Hopf algebras

Pascual Jara, Dragoş Ştefan|ArXiv.org|Jul 8, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 19

一句话总结

本文通过引入霍普夫代数 H 上模形式交叉模的新范畴，发展了霍普夫伽罗瓦扩张与霍普夫代数的循环同调理论。对每个此类模 M，构造了一个循环对象 Z*(H,M)，该对象推广了 H 的标准循环同调以及伽罗瓦扩张的相对循环同调。关键结果计算了当 K 为余交换且 M 可分解为一维中心子余模时，诱导模 Ind_K^H M 的循环同调，从而为群代数与量子环面提供了显式计算。

ABSTRACT

Let H be a Hopf algebra. By definition a modular crossed H-module is a vector space M on which H acts and coacts in a compatible way. To every modular crossed H-module M we associate a cyclic object Z(H,M). The cyclic homology of Z(H,M) extends the usual cyclic homology of the algebra structure of H, and the relative cyclic homology of an H-Galois extension. For a Hopf subalgebra K we compute, under some assumptions, the cyclic homology of an induced modular crossed module. As a direct application of this computation, we describe the relative cyclic homology of strongly graded algebras. In particular, we calculate the (usual) cyclic homology of group algebras and quantum tori. Finally, when H is the enveloping algebra of a Lie algebra, we construct a spectral sequence that converges to the cyclic homology of H with coefficients in an arbitrary modular crossed module. We also show that the cyclic homology of almost symmetric algebras is isomorphic to the cyclic homology of H with coefficients in a certain modular crossed-module.

研究动机与目标

• 通过基于模形式交叉模的新框架，统一并推广霍普夫代数、群代数与量子环面的循环同调计算。
• 通过霍普夫伽罗瓦扩张将循环同调理论扩展至相对情形，特别关注此类扩张中的商 A/[A,B]。
• 建立一个谱序列以计算 U(g)-模的循环同调，将其与李代数同调联系起来，并推广关于几乎对称代数的已知结果。
• 为当 K 余交换且 M 是一维中心子余模之直和时，提供计算诱导模 Ind_K^H M 的循环同调的系统方法。
• 证明几乎对称代数与 U_f(g) 是 U(g)-伽罗瓦扩张，从而可将一般理论应用于其循环同调的计算。

提出的方法

• 引入霍普夫代数 H 上模形式交叉模的范畴 CM_m(H)，其由左 H-模与右 H-余模结构之间的两个相容性条件定义。
• 为 CM_m(H) 中的每个 M 定义循环对象 Z*(H,M)，该对象推广了 H 的标准循环同调（当 M = ad H 时）以及 H-伽罗瓦扩张的相对循环同调（当 M = A_B 时）。
• 为霍普夫子代数 K ⊂ H 构造诱导函子 Ind_K^H M = H ⊗_K M，并为其赋予 CM_m(H) 中的结构，以支持同调计算。
• 当 K 余交换且 M 可分解为具有中心群状元素的一维子余模时，通过将其分解为张量积，计算 HC*(Ind_K^H M)。
• 将结果应用于强分次代数，证明其相对循环同调在适当条件下同构于 HC*(H, Ind_K^H M)。
• 为任意 U(g)-模 M 构造一个谱序列 E^2_{p,q} = H_{p+q-2i}(g, F_pM/F_{p-1}M) ⇒ HC_*(M)，将李代数同调与循环同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过模形式交叉模的范畴将循环同调推广至霍普夫伽罗瓦扩张？
• RQ2 当 K 余交换且 M 是一维中心子余模之直和时，诱导模 Ind_K^H M 的循环同调是什么？
• RQ3 该新框架能否用于计算群代数与量子环面的循环同调？
• RQ4 U(g)-模的循环同调如何通过谱序列与李代数同调关联？
• RQ5 几乎对称代数与 U_f(g) 在多大程度上可作为 U(g)-伽罗瓦扩张出现？这如何使循环同调计算成为可能？

主要发现

• 当 K 余交换且 M 可分解为具有中心群状元素的一维子余模时，Ind_K^H M 的循环同调被显式计算，得到 HC*(Ind_K^H M) ≅ ⊕_i HC*(K, M_i) ⊗ HC*(K)（对每个分量）。
• 强分次代数的相对循环同调同构于相应诱导模的循环同调，从而可直接通过主结果进行计算。
• 特征为零的域上群代数的循环同调作为特例被恢复，与 Burghelea 的结果一致。
• 通过该理论计算了量子环面的循环同调，表明其同构于相应群代数的循环同调。
• 构造了一个谱序列，其收敛于任意 U(g)-模 M 的 HC_*(M)，其中 E^2_{p,q} = ⊕_i H_{p+q-2i}(g, F_pM/F_{p-1}M)，推广了 Kassel 的结果。
• 证明了几乎对称代数是 k 上的 U(g)-伽罗瓦扩张，其循环同调同构于 HC_*(U(g), U_f(g))，将已知结果推广至更广泛的代数类。