[论文解读] Cyclic random motions with orthogonal directions

Enzo Orsingher, Roberto Garra+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2019

advanced mathematical theories参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文研究了在 $Ω^2$ 和 $Ω^3$ 中具有正交方向的循环随机运动，推导出粒子位置的显式条件与无条件概率分布。结果表明，控制方程为 D’Alembert 算子的乘积，通过指数变换可化为 Klein-Gordon 方程，并在极限情况下收敛至方差为 $1/d$ 的热方程，解以贝塞尔函数表示，系数由归一化条件确定。

ABSTRACT

A cyclic random motion at finite velocity with orthogonal directions is considered in the plane and in $\mathbb{R}^3$. We obtain in both cases the explicit conditional distributions of the position of the moving particle when the number of switches of directions is fixed. The explicit unconditional distributions are also obtained and are expressed in terms of Bessel functions. The governing equations are derived and given as products of D'Alembert operators. The limiting form of the equations is provided in the Euclidean space $\mathbb{R}^d$ and takes the form of a heat equation with infinitesimal variance $1/d$.

研究动机与目标

• 推导在 $Ω^2$ 和 $Ω^3$ 中具有正交方向的循环随机运动的位置分布的显式条件与无条件概率分布。
• 刻画位置分布的控制偏微分方程，表明其为 $2d$ 阶 D’Alembert 算子的乘积。
• 建立解的形式为贝塞尔函数导数之和，其系数由归一化条件确定。
• 分析方程的极限行为，表明当 $\lambda, c \to \infty$ 且 $c^2/\lambda \to 1$ 时，收敛至方差为 $1/d$ 的热方程。

提出的方法

• 将 $\mathbb{R}^d$ 中的控制方程表示为 $\prod_{i=1}^{d}\left[\left(\frac{\partial}{\partial t}+\lambda\right)^2 - c^2\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\right]p - \lambda^{2d}p = 0$。
• 应用指数变换 $p = e^{-\lambda t}w$，将方程化为 Klein-Gordon 型形式。
• 将解表示为 $p(u,t) = e^{-\lambda t}\sum_{i=0}^{d}A_i\frac{\partial^i}{\partial t^i}I_0\left(\frac{\lambda}{c}\sqrt{c^2t^2 - u^2}\right)$，其中 $I_0$ 为第一类修正贝塞尔函数。
• 通过施加归一化条件 $\int_0^{ct} p(u,t) du = 1 - \sum_{k=0}^{d-1} \frac{(λ t)^k}{k!}e^{-\u03bb t}$ 确定系数 $A_i$。
• 分析在位似立体（$\mathbb{R}^2$ 中的正方形，$\mathbb{R}^3$ 中的正八面体）上的分布结构，表明在外层壳上具有均匀性。
• 在 $c^2/\lambda \to 1$ 的尺度下，建立控制方程对热方程 $\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{2d}\Delta p$ 的渐近收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{R}^3$ 中，具有正交方向的循环随机运动的粒子位置的显式条件与无条件分布是什么？
• RQ2 在 $\mathbb{R}^d$ 中，位置分布的控制偏微分方程如何与 D’Alembert 和 Klein-Gordon 算子相关联？
• RQ3 当 $\lambda, c \to \infty$ 且 $c^2/\lambda \to 1$ 时，控制方程的极限行为如何？
• RQ4 解展开式中的系数 $A_i$ 如何通过归一化条件确定以保证分布的归一性？
• RQ5 在 $\mathbb{R}^d$ 中的条件分布与一维折叠抛物型过程之间存在何种关系？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^d$ 中，无条件分布为 $p(u,t) = e^{-\lambda t}\sum_{i=0}^{d}A_i\frac{\partial^i}{\partial t^i}I_0\left(\frac{\lambda}{c}\sqrt{c^2t^2 - u^2}\right)$，其中系数 $A_i$ 由归一化推导得出。
• 在 $\mathbb{R}^2$ 中，分布在外层正方形 $S^2_{ct}$ 的位似正方形上均匀分布，其绝对连续部分支撑在 $z = \pm x \pm y$，$0 \leq z \leq ct$ 上。
• 在 $\mathbb{R}^3$ 中，分布在外层正八面体 $S^3_{ct}$ 的位似正八面体上均匀分布，且给出了 $\mathcal{U}(t)$ 在 $N(t)=2k+1$ 或 $2k+2$ 条件下的条件密度的显式表达式。
• 在 $\mathbb{R}^3$ 中，给定 $N(t)=2k+1$ 时 $\mathcal{U}(t)$ 的条件分布为 $\Pr\{\mathcal{U}(t)\in du|N(t)=2k+1\} = \frac{(2k+1)!}{2^{2k}(ct)^{2k+1}(k-1)!(k+1)!}(c^2t^2 - u^2)^{k-1}(c^2t^2 + u^2)du$，$k \geq 1$
• 在 $\mathbb{R}^3$ 中，给定 $N(t)=2k+2$ 时 $\mathcal{U}(t)$ 的条件分布为 $\Pr\{\mathcal{U}(t)\in du|N(t)=2k+2\} = \frac{(2k+2)!}{(k+2)!(k-1)!}\frac{(c^2t^2 - u^2)^{k-1}}{(2ct)^{2k+1}}(c^2t^2 + 3u^2)du$，$k \geq 1$
• 控制方程在 $\lambda, c \to \infty$ 且 $c^2/\lambda \to 1$ 的极限下收敛至热方程 $\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{2d}\Delta p$，其无穷小方差为 $1/d$。