[论文解读] Cyclotomic double affine Hecke algebras (with an appendix by Hiraku Nakajima and Daisuke Yamakawa)

Alexander BRAVERMAN, Pavel Etingof+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 50被引用 33

一句话总结

本文引入了分次球面对称的分次有理 Cherednik 代数的 q-变形，即分次双 affine Hecke 代数（DAHA），并提供了四种等价描述：通过生成元与关系、微分-反射算子、退化 DAHA 子代数，以及等变 Borel-Moore 同调。关键贡献在于将分次 DAHA 构造为乘法型 quiver 变体与 bow 变体的量子化，这些变体被识别为框架 quiver gauge 理论的 K-理论 Coulomb 分支，并证明了 q-变形的拟不变量空间及其扭曲类别的平坦性。

ABSTRACT

We show that the partially spherical cyclotomic rational Cherednik algebra (obtained from the full rational Cherednik algebra by averaging out the cyclotomic part of the underlying reflection group) has four other descriptions: (1) as a subalgebra of the degenerate DAHA of type A given by generators; (2) as an algebra given by generators and relations; (3) as an algebra of differential-reflection operators preserving some spaces of functions; (4) as equivariant Borel-Moore homology of a certain variety. Also, we define a new $q$-deformation of this algebra, which we call cyclotomic DAHA. Namely, we give a $q$-deformation of each of the above four descriptions of the partially spherical rational Cherednik algebra, replacing differential operators with difference operators, degenerate DAHA with DAHA, and homology with K-theory, and show that they give the same algebra. In addition, we show that spherical cyclotomic DAHA are quantizations of certain multiplicative quiver and bow varieties, which may be interpreted as K-theoretic Coulomb branches of a framed quiver gauge theory. Finally, we apply cyclotomic DAHA to prove new flatness results for various kinds of spaces of $q$-deformed quasiinvariants. In the appendix by H. Nakajima and D. Yamakawa (added in version 2), the authors explain the relations between multiplicative bow varieties and (various versions of) multiplicative quiver varieties for a cyclic quiver.

研究动机与目标

• 定义部分球面对称的分次有理 Cherednik 代数的 q-变形，该代数在 l ≥ 3 时非晶体学，并通过多种等价描述构建它。
• 通过等变 K-理论对分次 DAHA 进行几何实现，利用 Borel-Moore 同调扩展退化情形，实现对特定簇 R(N,l) 的构造。
• 证明当 q=1 时，球面对称的分次 DAHA 同构于长度为 l 的循环 quiver 的乘法型 quiver 变体的坐标环，从而将其视为该变体的量子化。
• 通过利用分次 DAHA 的代数与几何结构，证明 q-变形的拟不变量空间及其扭曲类别的平坦性，平坦性以对称多项式代数为基。

提出的方法

• 将分次 DAHA 定义为 GLN 的 Cherednik DAHA 的子代数，由特定元素生成，并证明其保持某些函数空间。
• 通过生成元与关系描述分次 DAHA，从而实现基的构造及平坦性结果的证明。
• 将退化分次 DAHA 实现为簇 R(N,l) 的等变 Borel-Moore 同调，其 q-变形版本则实现为同一簇的等变 K-理论。
• 利用几何实现，证明当 q=1 时，球面对称分次 DAHA 是与长度为 l 的循环 quiver 相关的乘法型 quiver 变体的量子化。
• 为仿射 A 型框架 quiver gauge 理论的 K-理论 Coulomb 分支构造几何模型，证明其同构于乘法型 bow 变体。
• 利用分次 DAHA 的代数与几何结构，证明 q-变形的拟不变量空间及其扭曲类别的平坦性，平坦性以对称多项式代数为基。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管底层反射群非晶体学，能否构造出部分球面对称分次有理 Cherednik 代数的 q-变形？
• RQ2 是否存在一种基于等变 K-理论的分次 DAHA 几何实现，类似于通过 Borel-Moore 同调实现的退化情形？
• RQ3 当 q=1 时，球面对称分次 DAHA 是否同构于乘法型 quiver 变体的坐标环，从而可视为该变体的量子化？
• RQ4 q-变形的拟不变量空间及其扭曲类别的平坦性是否在对称多项式代数上保持成立？
• RQ5 乘法型 quiver 与 bow 变体是否同构于仿射 A 型框架 quiver gauge 理论的 K-理论 Coulomb 分支？

主要发现

• 分次 DAHA 被构造为部分球面对称分次有理 Cherednik 代数的 q-变形，具有四种等价描述：生成元与关系、DAHA 的子代数、函数空间的保持性，以及簇 R(N,l) 的等变 K-理论。
• 当 q=1 时，球面对称分次 DAHA eHH^l_N(Z,1,t)e 是交换的，且同构于长度为 l 的循环 quiver、维数向量为 (N,...,N) 的乘法型 quiver 变体的坐标环，从而将其实现为该变体的量子化。
• 对于通用参数，球面对称分次 DAHA 是乘法型 quiver 变体上阶为 N! 的 Azumaya 代数，且 HH^l_N(Z,1,t)e 是其中心上的 Cohen-Macaulay 模。
• 当 t 不是单位根时，eHH^l_N(Z,1,t)e 是一个整闭的 Cohen-Macaulay 整环，且同构于 HH^l_N(Z,1,t) 的中心。
• 扭曲拟不变量空间的 q-变形在对称多项式代数上是平坦的，扩展了对标准拟不变量已知的平坦性结果。
• 乘法型 quiver 变体 M×_γ(v,w) 同构于具有平衡维数向量的乘法型 bow 变体，且该同构与拟哈密顿结构相容，支持了 K-理论 Coulomb 代数同构于乘法型 quiver 变体的猜想。