[论文解读] Cyclotomy, difference sets, sequences with low correlation, strongly regular graphs, and related geometric substructures

Koji Momihara, Qi Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 35被引用 6

一句话总结

本文系统综述了在有限域中通过分圆类构造的组合与几何结构，重点关注差集、低自相关序列以及强正则Cayley图。研究表明，分圆类的并集可生成投影两交集集，从而导出具有特定参数的强正则图，并将其与经典极射影空间中的 $m$-ovoids 和 $i$-tight 集联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we survey constructions of and nonexistence results on combinatorial/geometric structures which arise from unions of cyclotomic classes of finite fields. In particular, we survey both classical and recent results on difference sets related to cyclotomy, and cyclotomic constructions of sequences with low correlation. We also give an extensive survey of recent results on constructions of strongly regular Cayley graphs and related geometric substructures such as $m$-ovoids and $i$-tight sets in classical polar spaces.

研究动机与目标

• 系统化并综述从有限域中分圆类并集导出的组合结构的古典与近期成果。
• 阐明分圆构造与关键对象（如差集、低相关性序列、强正则Cayley图）之间的联系。
• 通过分圆特征和与投影两交集集的联系，统一经典极射影空间中 $m$-ovoids 与 $i$-tight 集的理论。
• 全面概述分圆差集构造中的非存在性结果与开放问题。
• 强调分圆结构的伪随机与准随机性质，尤其在有限几何与设计理论背景下的表现。

提出的方法

• 利用有限域 $\mathbb{F}_q$ 中的 $N$ 次分圆类 $C_i^{(N,q)}$ 理论，通过本原元 $\gamma$ 将 $\mathbb{F}_q^*$ 划分为陪集。
• 应用 $\mathbb{Z}/v\mathbb{Z}$ 中子集 $D$ 的特征序列，将差集与具有双水平自相关特性的二元序列联系起来。
• 在极射影空间 $S$ 的向量空间 $V$ 上使用Cayley图构造 $\mathrm{Cay}(V,D)$，其中 $D$ 由分圆类的并集导出。
• 利用 $m$-ovoids 与 $i$-tight 集对超平面的交集性质，推导出强正则图的精确大小公式与参数条件。
• 应用有限几何与特征和理论的结果，证明 $m$-ovoids 与 $i$-tight 集在环境射影空间中生成投影两交集集。
• 建立部分逆定理：若一个集合是具有特定交集大小的投影两交集集，则其必为极射影空间中的 $m$-ovoid 或 $i$-tight 集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_q^*$ 中，哪些分圆类的并集可生成差集？此类构造的必要与充分条件是什么？
• RQ2 分圆类如何生成低自相关序列？已知的参数界与构造方法有哪些？
• RQ3 在经典极射影空间中，点集通过分圆构造形成 $m$-ovoid 或 $i$-tight 集的条件是什么？
• RQ4 $m$-ovoids 与 $i$-tight 集在极射影空间中与具有负拉丁方型或拉丁方型参数的强正则Cayley图之间有何关系？
• RQ5 已知的分圆差集非存在性结果有哪些？它们与关于 $C_0^{(N,q)}$ 是否为差集的长期猜想有何关联？

主要发现

• 当 $q \equiv 3 \pmod{4}$ 时，使用 $C_0^{(2,q)}$ 构造的 Paley 差集是 $(q, \frac{q-1}{2}, \frac{q-3}{4})$ 差集的典型例子。
• 具有双水平自相关的二元序列的分圆构造恰好对应阿贝尔差集，其自相关值在位移 0 处为 $v$，其余位置为 $v - 4(k - \lambda)$。
• 极射影空间 $S$（如 $\mathsf{H}(2r,q^2)$、$\mathsf{Q}^-(2r-1,q)$、$\mathsf{W}(2r-1,q)$）中的 $m$-ovoid 生成具有负拉丁方型参数 $(u^2, s(u+1), -u + s^2 + 3s, s^2 + s)$ 的强正则Cayley图，其中 $u = q^{2r+1}$，$s = m(q^2 - 1)$ 等。
• 极射影空间 $S$ 中的 $i$-tight 集生成具有拉丁方型参数 $(u^2, s(u-1), u + s^2 - 3s, s^2 - s)$ 的强正则Cayley图，其中 $u = q^{2r}$，$s = i$ 等。
• 定理 4.20 与 4.22 证明了 $m$-ovoids 与 $i$-tight 集是环境射影空间中的投影两交集集，从而为相应Cayley图提供了几何表征。
• 定理 4.20 与 4.22 的部分逆定理存在：若一个集合是具有特定交集大小的投影两交集集，则其必为 $m$-ovoid 或 $i$-tight 集，从而为构造此类对象提供了有效路径。