[论文解读] $(d-2)$-dimensional edge states of rotation symmetry protected topological states

Zhida Song, Zhong Fang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2017

Topological Materials and Phenomena被引用 57

一句话总结

该论文证明，在二维和三维旋转对称、时间反演不变的带隙系统中，非平庸拓扑表现为$(d-2)$-维边缘态，并提供了这些边缘模态的非相互作用与相互作用构造。

ABSTRACT

We study fourfold rotation invariant gapped topological systems with time-reversal symmetry in two and three dimensions ($d=2,3$). We show that in both cases nontrivial topology is manifested by the presence of the $(d-2)$-dimensional edge states, existing at a point in 2D or along a line in 3D. For fermion systems without interaction, the bulk topological invariants are given in terms of the Wannier centers of filled bands, and can be readily calculated using a Fu-Kane-like formula when inversion symmetry is also present. The theory is extended to strongly interacting systems through explicit construction of microscopic models having robust $(d-2)$-dimensional edge states.

研究动机与目标

• 激发并识别由四重旋转对称性和时间反演对称性保护的新型SPT（拓扑绝缘/拓扑相）类别。
• 表征在二维和三维中，$(d-2)$-维边缘态如何从 Wannier center（WC）配置中产生。
• 通过耦合线构造将该框架推广到强相互作用的系统。
• 提供实用的指标，包括一个类似 Fu-Kane 的公式，用于在存在反演对称性时诊断非平凡的 WC 流。

提出的方法

• 从 Wannier center 的视角解释在 2D 中的 0D 角落态以及在 3D 中的 1D 螺旋边缘模态。
• 通过比较 k_z 截面并识别一个 $ \mathbb{Z}_2$ 不变量，引入一个 $ ext{WC}$-flow 分类。
• 推导一个类似 Fu–Kane 的公式，将该不变量与高对称动量处的旋转和反演特征值联系起来。
• 构建显式的 2D 与 3D 晶格模型，展示在 C4 和 T 对称性下的 $(d-2)$-维边缘态。
• 采用耦合线方法将边界态构造推广到强相互作用的 SPT。
• 讨论在对称性破缺的扰动下边界态的鲁棒性，并概述实验信号。

实验结果

研究问题

• RQ1 从 $k_z=0$ 到 $k_z=\pi$ 的 $ ext{WC}$-flow 能否定义一个鲁棒的 $\Z_2$ 不变量，指示 $(d-2)$-维边缘态？
• RQ2 在反演对称性下，是否可以建立一个类似 Fu–Kane 的公式，仅从对称性本征值诊断 $ ext{WC}$-flow？
• RQ3 通过耦合线构造，强相互作用的 SPT 中的 $(d-2)$-维边缘模态是否仍然存在？
• RQ4 当镜像对称性被破坏但 $C_4$ 和时间反演对称性仍然存在时，边缘模态如何变化？
• RQ5 四重旋转对称性保护的 $(d-2)$-维边缘态的实验信号是什么？

主要发现

• 一个具有 $C_4$ 和 T 对称性的二维系统承载由 Wannier center 与原子位置不一致而产生的 0D 角落态。
• 一个三维系统在 $k_z=0$ 与 $k_z=\pi$ 截面之间呈现 $ ext{Z}_2$-型 WC 流，导致在侧表面出现四个螺旋边缘模态。
• 推导出一个类似 Fu–Kane 的公式，将 $ ext{Z}_2$ WC flow 不变量与高对称动量处的旋转和反演特征值（空间群 $P4/m$）联系起来。
• 显式的 2D 与 3D 晶格模型证明在 $C_4$ 和时间反演对称性保护下存在鲁棒的 $(d-2)$-维边缘态。
• 耦合线构造将该框架推广到具有 $(d-2)$-维边缘模态的强相互作用玻色子和费米子 SPT。
• 边缘模态并非严格固定在角落或铰链处，只要保持 $C_4$ 对称性，它们也可存在于光滑的侧表面上。