[论文解读] Décomposition monomorphe des structures relationnelles et profil de classes héréditaires

Djamila Oudrar, Maurice Pouzet|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2014

semigroups and automata theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文引入了单性分解作为分析有限有序关系结构的遗传类的轮廓增长的结构性工具。它证明了若此类类缺乏有限单性分解，则其轮廓增长至少为指数级——解决了轮廓增长速率分类中的一个关键情形，与 Balogh、Bollobás 和 Morris 在 2006 年关于有序图的结果一致。

ABSTRACT

We present a structural approach of some results about jumps in the behavior of the profile (alias generating function) of hereditary classes of finite structures. We start with the following notion due to N.Thiéry and the second author. A \emph{monomorphic decomposition} of a relational structure $R$ is a partition of its domain $V(R)$ into a family of sets $(V_x)_{x\in X}$ such that the restrictions of $R$ to two finite subsets $A$ and $A'$ of $V(R)$ are isomorphic provided that the traces $A\cap V_x$ and $A'\cap V_x$ have the same size for each $x\in X$. Let $\mathscr S_μ$ be the class of relational structures of signature $μ$ which do not have a finite monomorphic decomposition. We show that if a hereditary subclass $\mathscr D$ of $\mathscr S_μ$ is made of ordered relational structures then it contains a finite subset $\mathfrak A$ such that every member of $\mathscr D$ embeds some member of $\mathfrak A$. Furthermore, for each $R\in \mathfrak A$ the profile of the age $\mathcal A(R)$ of $R$ (made of finite substructures of $R$) is at least exponential. We deduce that if the profile of a hereditary class of finite ordered structures is not bounded by a polynomial then it is at least exponential. This result is a part of classification obtained by Balogh, Bollobás and Morris (2006) for ordered graphs. {\it To cite this article: Djamila Oudrar, Maurice Pouzet, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I.}

研究动机与目标

• 理解有限关系结构的遗传类中轮廓增长跃迁的结构根源。
• 研究单性分解在决定轮廓是否多项式有界或指数增长中的作用。
• 表征具有非多项式轮廓增长的最小遗传类，特别是在有序结构的背景下。
• 建立缺乏有限单性分解与有序关系系统中指数轮廓增长之间的联系。
• 将有序图的结构洞见扩展到具有有限签名的更广泛类别的有序关系结构。

提出的方法

• 将单性分解定义为将关系结构的定义域划分为若干子集，使得有限子结构的同构类型仅取决于与每个部分交集的大小。
• 基于限制在有限集合上的子结构的同构性，引入元素之间的 k-等价和 ≤k-等价关系。
• 利用 Fraïssé 定理将最小遗传类表示为关系结构的年龄，从而通过其极限结构进行分析。
• 应用拉姆齐理论论证，当存在无限单性分量时，可提取出具有受控等价行为的无限配置。
• 利用已知的重构结果（例如 Lopez、Ille 的结果）来界定确定完整单性分解所需的 k-等价类数量。
• 利用在足够大结构中 ≤k-等价与完整单性等价之间的等价性，特别是在二元和有序情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种结构条件决定了有限有序关系结构的遗传类的轮廓是多项式有界，还是增长快于任何多项式？
• RQ2 有限单性分解的存在或缺失如何影响轮廓的增长速率？
• RQ3 能否通过其年龄和单性分解性质来表征具有非多项式轮廓增长的最小遗传类？
• RQ4 在有序关系结构中，轮廓增长从多项式过渡到指数级的精确阈值是什么？
• RQ5 已知的关于有序图的结果在多大程度上可推广到具有有限签名的更一般有序关系结构类？

主要发现

• 有限有序关系结构的遗传类的轮廓被多项式有界，当且仅当该类中每个结构都具有有限单性分解。
• 若一个有序关系结构的遗传类缺乏有限单性分解，则其轮廓至少为指数级增长。
• 对于具有非多项式轮廓增长的最小遗传类中的任意结构 R，R 的年龄的轮廓至少为指数级。
• 缺乏有限单性分解意味着存在一个无限元素族，其等价行为日益复杂，从而导致指数级轮廓增长。
• 在有序结构中，单性分解完全由一个依赖于关系元数的有限 k 的 ≤k-等价决定，对于有序二元关系，k=2 已足够。
• 具有指数轮廓增长的最小类恰好是那些其年龄为具有无限单性分量的结构的年龄的类，且此类结构必须嵌入一个其年龄具有至少指数轮廓的有限子结构。