[论文解读] $d$-dimensional Lüscher's formula and the near-threshold three-body states in a finite volume

Shangguo Zhu, Shina Tan|arXiv (Cornell University)|May 13, 2019

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 7

一句话总结

该论文将吕舍尔公式推广至 $d$-维有限体积，推导出两体散射的 $s$-波和 $p$-波近似。在 $s$-波共振时，该研究在解析上识别出两个近阈能级态，其能量按 $\pm 1/L^{d/2}$ 规律变化（当 $d \geq 5$ 时），或按 $\pm 1/(L^2\sqrt{\ln L})$ 规律变化（当 $d=4$ 时），为研究高维有限体积系统中的三体共振（包括埃菲莫夫三聚体）提供了理论框架。

ABSTRACT

We study two particles colliding in a $d$-dimensional finite volume and generalize Lüscher's formula to arbitrary $d$ spatial dimensions. We obtain the $s$- and $p$-wave approximations of the generalized Lüscher's formula. For resonant $s$- or $p$-wave interactions, we analytically determine the energies of the low-lying states at large box size $L$. At $s$-wave resonance, we discover two low-lying states with nearly opposite energies, which are proportional to $\pm 1/L^{d/2}$ for $d\ge 5$, or $\pm 1/L^{2}\sqrt{\ln L}$ for $d=4$. This provides important insights into the near-threshold states of three bosons at a three-body resonance in a 2- or higher-dimensional finite volume.

研究动机与目标

• 将两体散射的吕舍尔公式在有限体积中推广至任意空间维度 $d$。
• 推导在具有周期性边界条件的 $d$-维空间中，$s$-波和 $p$-波近似下的量化条件。
• 在大体积 $L$ 条件下，对共振 $s$-波和 $p$-波相互作用的低激发能级进行解析求解。
• 为在二维或三维有限体积模拟中研究三体共振（如埃菲莫夫三聚体）的三体系统提供理论框架。
• 建立高维有限体积量子系统中近阈态的体积依赖关系。

提出的方法

• 使用动量空间中的伪波函数表述问题，该方法适用于所有 $d$ 维空间，并通过对散射波函数在相互作用范围外进行解析延拓来实现。
• 应用傅里叶变换将动量空间波函数映射回实空间，从而自然地对离散动量的格点求和进行正则化。
• 利用 $d$ 维空间中的超球谐函数和贝塞尔函数，推导出 $d$-维吕舍尔公式及其 $s$-波和 $p$-波近似。
• 采用 $d$ 维空间中的有效范围展开来分析低能散射和共振行为。
• 将量化条件应用于共振 $s$-波和 $p$-波相互作用，在大 $L$ 极限下求解能级。
• 对所得能量表达式进行渐近分析，提取近阈态的主导体积依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有周期性边界条件的有限体积盒子中，吕舍尔公式如何推广至任意空间维度 $d$？
• RQ2 在 $d \geq 4$ 时，$s$-波共振下有限体积中低激发两体态的能量位移如何？
• RQ3 当三个玻色子处于三体共振时，$d=3$ 或 $d=2$ 有限体积中近阈三体态的体积依赖关系如何？
• RQ4 $d$ 维空间中 $s$-波和 $p$-波散射相移如何影响有限盒子中能级的量化？
• RQ5 广义吕舍尔公式能否预测在高维空间中 $s$-波共振时两个近阈态的存在及其能量标度？

主要发现

• 在 $d \geq 5$ 维空间中，$s$-波共振时，两个低激发态的能量与 $\pm 1/L^{d/2}$ 成正比，且在大盒子尺寸 $L$ 下成立。
• 在 $d=4$ 维空间中，两个近阈态的能量按 $\pm 1/(L^2\sqrt{\ln L})$ 规律变化，且在大 $L$ 下成立。
• 在 $d=3$ 维空间中，由三体共振产生的近阈态能量按 $1/L^3$ 规律变化，与 $s$-波预测一致。
• 在 $d=2$ 维空间中，三体共振时近阈态的能量按 $1/(L^2\sqrt{\ln L})$ 规律变化，与 $d=4$ 的标度模式一致。
• $p$-波近似下，在共振时出现 $d$ 重简并的低激发能级，其能量在 $d \geq 3$ 时按 $1/L^d$ 规律变化，在 $d=2$ 时按 $1/(L^2\ln L)$ 规律变化。
• 能量标度中的比例常数依赖于两体散射长度和一个三体参数（如 $r_{6,0}$ 或 $\widetilde{r}_{4,0}$），从而将有限体积效应与三体物理联系起来。