[论文解读] D\\'ecompositions en hauteurs locales

Fabien Pazuki|arXiv (Cornell University)|May 21, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 3

一句话总结

本文提出了一种关于数域上超椭圆曲线的雅可比簇的法尔廷斯高度以及其有理点的内森-塔特高度的分解公式，利用莫雷特-贝伊模型和模形式导出的局部分量。关键结果将西尔弗曼1986年对椭圆曲线的局部分解公式推广至高维情形，精确建立了全局高度与有限和阿基米德位处的局部不变量之间的联系。

ABSTRACT

Let A be the jacobian variety of a hyperelliptic curve defined over a number field k. We provide a decomposition formula for the Faltings height of A and for the N\\'eron-Tate height of k-rational points on A. We formulate a question of Bogomolov type on the space of principally polarized abelian varieties of dimension g.

研究动机与目标

• 将西尔弗曼对椭圆曲线法尔廷斯高度的局部分解公式推广至更高维阿贝尔簇，特别是超椭圆曲线的雅可比簇。
• 为这类雅可比簇上其有理点的内森-塔特高度提供显式局部公式。
• 建立全局高度与局部不变量（阿基米德位与有限位）之间的联系，利用判别式与模形式。
• 在主极化阿贝尔簇的模空间 $\mathcal{A}_g$ 上提出一个波戈莫洛夫型问题。
• 通过使用莫雷特-贝伊模型与典范度量，改进算术几何中的高度界。

提出的方法

• 使用莫雷特-贝伊模型（MB-模型）来定义并计算阿贝尔簇上全局高度的局部分量。
• 通过与对称充分正除子相关的线丛，应用典范度量于内森-塔特高度。
• 将法尔廷斯高度 $h_{\mathrm{F}^+}(A)$ 分解为 $M_k$ 中各位置 $v$ 的和，其中有限位处的贡献由判别式决定，阿基米德位处的贡献由模形式 $\Delta$-函数决定。
• 利用超椭圆曲线的判别式 $\Delta_E$ 及其在阿基米德位处与模形式 $\Delta(\tau_v)$ 的关系。
• 依赖于theta特征理论与芒福德模型，以定义局部高度贡献。
• 使用公式 $h_{\mathrm{F}^+}(A) = \frac{g}{2}\log(2\pi^2) + h_F(A)$ 以确保正性并兼容经典高度理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 超椭圆曲线的雅可比簇的法尔廷斯高度能否在数域的每个位置上分解为局部贡献？
• RQ2 能否为这类雅可比簇上 $k$-有理点的内森-塔特高度给出显式局部公式？
• RQ3 高度的局部分量（阿基米德位与有限位）如何与判别式和模形式等经典不变量相关联？
• RQ4 在莫雷特-贝伊模型的背景下，全局高度与局部不变量之间存在何种关系？
• RQ5 能否基于这些高度分解，在模空间 $\mathcal{A}_g$ 上提出一个波戈莫洛夫型问题？

主要发现

• 建立了超椭圆曲线雅可比簇的法尔廷斯高度的分解公式：$h_{\mathrm{F}^+}(A) = \frac{1}{12d} \left[ \log N_{k/\mathbb{Q}}(\Delta_E) - \sum_{v \in M_k^\infty} d_v \log \left| \Delta(\tau_v) (2\operatorname{Im} \tau_v)^6 \right| \right] + \text{校正项}$，推广了西尔弗曼1986年的结果。
• 证明了 $k$-有理点的内森-塔特高度可分解为局部贡献，其中阿基米德部分涉及函数 $I(A_v, \lambda_v)$，有限部分则与判别式相关。
• 当 $g=1$ 时，该公式恢复经典椭圆曲线情形，确认与已知结果的一致性。
• 莫雷特-贝伊模型的使用使得有限位处的局部高度分量得以显式计算。
• 本文提供了一个框架，用于估计 $\hat{h}(P) - h(P)$ 对于有理点 $P$，改进了曼宁与扎尔金（1972）的界限。
• 在 $\mathcal{A}_g$ 上提出了一个波戈莫洛夫型问题，询问在内森-塔特高度下，小点是否在模空间中稠密。