[论文解读] Déformations isospectrales non compactes et théorie quantique des champs

Victor Gayral|Jul 21, 2005

Advanced Operator Algebra Research被引用 3

一句话总结

本论文在非交换几何中发展了非紧致的等谱形变，将康奈斯的谱三元组框架扩展至非单位代数，并将其应用于莫伊尔平面。论文建立了非紧致情形下的迪克曼迹计算，证明了非交换场论中的紫外/红外混合现象，并表明谱不变量在形变下保持不变，为非交换时空上的量子场论提供了严格的非微扰框架。

ABSTRACT

The aim of this thesis is to study the isopectral deformations from the point of view of Alain Connes' noncommutative geometry. This class of quantum spaces constituts a curved space generalisation of Moyal planes and noncommutative tori. First of all, we look at the construction of non-unital spectral triples, for which we propose modified axioms. We then check that Moyal planes fit into this axiomatic framework, and give the keypoints for the construction of non-unital spectral triples from generic non-compact isospectral deformations. To this end, numerous analytical tools on non-compact Riemannian manifolds are developped. Thanks to Dixmier traces computations, we show that their spectral and classical dimensions coincide. In a second time, we study certain features of quantum fields theory on curved isospectral deformations, with a particular view on the ultraviolet infrared mixing phenomenon. We show its intrinsic nature for all such quantum spaces (compacts or not, periodic or not deformations), and we study its consequences on the renormalisability. In particular, the behaviour of Green functions of the planar and non-planar sectors is understood in term of on- and off-diagonal heat kernel contributions. We also see new or inner manifestations of the UV/IR mixing, related to the geometric properties of those quantum spaces and to the arithmetic nature of the deformation parameters.

研究动机与目标

• 将康奈斯的谱三元组形式化推广至与量子场论相关的非单位、非紧致几何。
• 分析非紧致、非单位莫伊尔平面上的热核与迪克曼迹的行为。
• 研究在等谱形变上的非交换场论中的紫外/红外混合现象。
• 确立谱不变量在非紧致等谱形变下的不变性。
• 利用谱几何为非交换量子场论提供严格的数学基础。

提出的方法

• 将康奈斯-兰迪与康奈斯-杜波瓦-维奥莱特的等谱形变构造方法推广至非紧致、非单位的情形。
• 应用希尔伯特空间技术分析形变后的莫伊尔乘积及其谱性质。
• 利用迪克曼迹与弱施瓦茨类理论，在非紧致几何中计算谱不变量。
• 将作用谱泛函应用于莫伊尔平面上的非单位谱三元组。
• 分析在等谱形变上的非交换φ⁴理论中的有效作用量与圈图贡献。
• 应用丢番图条件以控制非平面费曼图在非紧致情形下的发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 谱三元组如何推广至非单位、非紧致的非交换几何？
• RQ2 在非紧致莫伊尔平面上，热核与迪克曼迹的行为如何？
• RQ3 紫外/红外混合现象是否在莫伊尔空间的非紧致等谱形变中依然存在？
• RQ4 谱不变量在非紧致等谱形变下如何变换？
• RQ5 作用谱泛函能否在非单位、非紧致情形下一致地定义与计算？

主要发现

• 迪克曼迹在非紧致莫伊尔平面上有良好定义且可计算，将等谱形变的谱不变性从紧致情形扩展至非紧致情形。
• 在非紧致等谱形变的非交换φ⁴理论中，紫外/红外混合现象被证实，确认了先前在更广泛几何设置下的结果。
• 在非紧致情形下，非平面图对有效作用量的贡献由形变参数θ的丢番图条件所控制。
• 谱三元组框架成功推广至非单位代数，使得非紧致非交换空间可通过谱数据加以描述。
• 作用谱泛函在非紧致情形下对莫伊尔平面给出有限结果，支持其在量子场论中的应用。
• 确立了热核在弱施瓦茨类中的迹类性质，使得非紧致几何中的严格迹计算成为可能。