[论文解读] d-gonality of modular curves and bounding torsions

Khac Viet Nguyen, Masa-Hiko Saito|ArXiv.org|Mar 29, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 16

一句话总结

本文根據模曲線 $ X_0(N) $ 的 $ d $-扭inality 建立了其階 $ N $ 的上界，推廣了 Ogg 對雙曲線曲線（$ d=2 $）的結果。利用 Castelnuovo–Severi 不等式與良好約化論證，證明若 $ X_0(N) $ 為 $ d $-扭性，則當 $ d \geq 3 $ 時有 $ N \leq (48(d-1)^2 + 35)(36(d-1)^2 + 47) $，並建立函數域版本的強一致有界性猜想，顯示 Mordell-Weil 群中的扭子群受 $ d $ 均勻有界。

ABSTRACT

We study the problem of $d$-gonality of the modular curve $X_0(N)$. As a result, we can give an upperbound of the level $N$ by means of $d$. This generalizes Ogg's result on hyperelliptic modular curves ($d = 2$). As a corollary of this result, we prove an analogue of the strong Uniform Boundedness Conjecture for elliptic curves defined over the function fields of curves. If a base curve is $d$-gonal, we can bound orders of torsions of Mordell-Weil groups in terms of $d$ uniformly.

研究动机与目标

• 解決以 $ d $-扭性為參數的模曲線 $ X_0(N) $ 階 $ N $ 的上界問題。
• 將 Ogg 對雙曲線模曲線（$ d=2 $）的分類結果推廣至更高 $ d $，提供 $ N $ 的統一上界。
• 建立強一致有界性猜想的函數域類比，顯示當基曲線為 $ d $-扭性時，Mordell-Weil 群中的扭子群受 $ d $ 均勻有界。
• 運用算術幾何技術，包括良好約化與 Néron 模型，將 $ d $-扭性與扭子群有界性關聯。
• 證明在 $ d $-扭性函數域上，作為 Mordell-Weil 群扭子群出現的有限交換群集合是有限的。

提出的方法

• 應用 Castelnuovo–Severi 不等式，透過有限態射將 $ X_0(N) $ 的 $ d $-扭性與中間曲線的虧格關聯。
• 利用塔定理構造一個有限態射 $ f: X_0(N)_{\mathbb{Q}} \to C' $，其度數 $ d' \leq d $，且滿足 $ g(C') \leq (d/d' - 1)^2 $。
• 利用在 $ p \nmid N $ 時的良好約化，將態射提升至正特徵，並應用 Weil 對 $ \mathbb{F}_{p^2} $ 上有理點的有界性。
• 分析雅可比簇 Néron 模型的特殊纖維，證明曲線的約化至多有一個非有理分支。
• 應用平坦性與射影幾何技術，包括爆破與 proper transform，以解析奇點並保持態射結構。
• 利用 Néron 模型的最小性與對偶圖中無環的性質，證明特殊纖維僅有一個非有理分支。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於給定的 $ d $，模曲線 $ X_0(N) $ 為 $ d $-扭性時，其最大階 $ N $ 是多少？
• RQ2 Ogg 對雙曲線模曲線（$ d=2 $）的結果如何推廣至更高 $ d $？
• RQ3 能否建立強一致有界性猜想的函數域類比，使得 Mordell-Weil 群中的扭子群受 $ d $-扭性均勻有界？
• RQ4 在良好約化與 Néron 模型的脈絡下，$ X_0(N) $ 的 $ d $-扭性會引發何種幾何與算術約束？
• RQ5 $ X_0(N) $ 的雅可比簇 Néron 模型的特殊纖維結構如何約束可能的 $ d $-扭性態射？
• RQ6 當 $ N $ 為奇數時，能否利用額外的算術約束改進 $ N $ 的上界？

主要发现

• 若 $ X_0(N) $ 為 $ d $-扭性，則 $ N \leq 25 $ 當 $ d = 1 $，$ N \leq 71 $ 當 $ d = 2 $，且當 $ d \geq 3 $ 時有 $ N \leq (48(d-1)^2 + 35)(36(d-1)^2 + 47) $，提供以 $ d $ 為參數的統一上界。
• 對於 $ d \geq 3 $，該上界係透過 Castelnuovo–Severi 不等式與有限域上 rational 點的 Weil 有界性推導而出。
• 當 $ d \geq 3 $ 時，上界大致以 $ O(d^4) $ 的速度增長，反映出 $ d $-扭性結構在模曲線上的複雜性增加。
• 本文證明在 $ d $-扭性函數域上，作為非常值橢圓曲線 Mordell-Weil 群扭子群出現的有限交換群集合 $ \Phi_{\text{fun}}(d) $ 是有限的。
• 在基為 $ d $-扭性曲線 $ C $ 的函數域 $ K = \mathbb{C}(C) $ 上的橢圓曲線，其扭子群階數受 $ B(d) $ 有界，即定理 0.2 不等式右側的表達式。
• 證明依賴於存在一個度數 $ \leq d $ 的有限態射 $ X_0(N) \to C' $，其虧格受控，且 $ C' $ 在 $ p \nmid N $ 時具有良好約化，進而導致點計數約束。