[论文解读] d-independence and d-bases in vector lattices

Y. A. Abramovich, Arkady Kitover|ArXiv.org|Mar 26, 1999

Advanced Algebra and Logic参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文引入了任意向量格中的 d-独立性新概念，克服了以往对投影带的依赖，并建立了适用于所有情况的 d-基的修订定义。证明了在一般条件下，向量格要么具有单元素 d-基，要么必须具有无限 d-基，显著扩展了 d-基在泛函分析与向量格理论中的适用范围。

ABSTRACT

This article contains the results of two types. First we give a complete characterization of band preserving projection operators on Dedekind complete vector lattices. This is done in Theorem~3.4. Let us mention also Theorem~3.2 that contains a description of such operators on arbitrary laterally complete vector lattices. The central role in these descriptions is played by d-bases, one of two principal tools utilized in our work [{\it Inverses of Disjointness Preserving Operators}, Memoirs of the Amer. Math. Soc., forthcoming]. The concept of a d-basis has been applied so far only to vector lattices with a large amount of projection bands. The absence of the projection bands has been the major obstacle for extending, otherwise very useful concept of d-bases, to arbitrary vector lattices. In Section~4 we overcome this obstacle by finding a new way to introduce d-independence in an arbitrary vector lattice. This allows us to produce a new definition of a d-basis which is free of the existence of projection bands. We illustrate this by proving several results devoted to cardinality of d-bases. Theorems~4.13 and~4.15 are the main of them and they assert that, under very general conditions, a vector lattice either has a singleton d-basis of else this d-basis must be infinite.

研究动机与目标

• 克服 d-基的局限性，因为此前 d-基的定义依赖于向量格中投影带的存在。
• 发展一种新的、内在的 d-独立性定义，不依赖于投影带的存在。
• 将 d-基理论推广至任意向量格，而不仅限于具有丰富投影带的向量格。
• 刻画 Dedekind 完备及 laterally 完备向量格上保持带的投影算子。
• 研究 d-基的基数，并建立其大小的结构性约束。

提出的方法

• 在任意向量格中引入 d-独立性作为新的代数条件，独立于投影带。
• 利用新的 d-独立性概念定义 d-基，使 d-基可应用于一般向量格。
• 应用保正交性算子及其逆算子的理论，借鉴该领域先前的研究成果。
• 使用格论技术分析 Dedekind 完备及 laterally 完备向量格上保持带的算子。
• 运用向量格的结构性结果，推导出 d-基的基数约束。
• 通过格序向量空间的论证，建立 d-基存在性与大小的定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏投影带的向量格中，能否定义 d-基？
• RQ2 在一般向量格中，d-基的基数是多少？
• RQ3 如何刻画 Dedekind 完备向量格上保持带的投影算子？
• RQ4 在何种条件下，d-基要么为单元素，要么为无限集？
• RQ5 d-独立性在将 d-基理论推广至具有丰富投影带的格之外的结构中起什么作用？

主要发现

• 引入了一种新的 d-独立性定义，无需依赖投影带的存在。
• 通过新的 d-独立性框架，将 d-基的概念推广至任意向量格。
• 定理 4.13 证明：若一个向量格具有 d-基，则其 d-基要么为单元素，要么为无限集。
• 定理 4.15 确认：在一般条件下，向量格要么可接受单元素 d-基，要么其 d-基必为无限集。
• 在 Dedekind 完备向量格上，保持带的投影算子通过 d-基得到完全刻画。
• 研究结果将 d-基的适用范围扩展至所有向量格，而不仅限于具有丰富投影带结构的向量格。