[论文解读] $D$-modules arithmétiques, distributions et localisation

Christine Huyghe, Tobias Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过在特征不等的完全离散赋值环 $(0,p)$ 上对光滑仿射群概形 $G$ 使用部分除幂，构造了算术分布代数 $D^{(m)}(G)$，将其与不变算术微分算子相联系，并为半单群建立了 $p$-进局部化定理。证明了在 $p$-进形式旗流形上算术微分算子层的全局截面同构于模去中心特征标后的完备化分布代数，将 Beilinson-Bernstein 局部化推广到了算术设置。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number, $V$ a discrete valuation ring of unequal caracteristics $(0,p)$, $G$ a smooth affine algebraic group over $Spec \,V$. Using partial divided powers techniques of Berthelot, we construct arithmetic distribution algebras, with level $m$, generalizing the classical construction of the distribution algebra. We also construct the weak completion of the classical distribution algebra. We then show that these distribution algebras can be identified with invariant arithmetic differential operators over $G$. We finally apply these constructions in the case of a reductive group and obtain a localization theorem for the sheaf of arithmetic differential operators on the formal flag variety obtained by $p$-adic completion, generalizing a previous result of Ardakov-Wadsley (for the level 0 and with some condition on $p$).

研究动机与目标

• 通过部分除幂将经典分布代数推广到算术设置。
• 构造弱完备化算术分布代数，并将其与 $G$ 上的不变算术微分算子相联系。
• 为半单群建立 Beilinson-Bernstein 局部化定理的 $p$-进版本。
• 将形式旗流形上算术 $\mathcal{D}$-模的上同调与李代数上同调及刚性上同调联系起来。
• 为通过算术 $\mathcal{D}$-模研究特征 $p$ 下旗流形开子集的刚性上同调提供一个框架。

提出的方法

• 使用 Berthelot 的 $m$-阶部分除幂理论，将算术分布代数 $D^{(m)}(G)$ 定义为 $G$ 中单位元的 $m$-PD 邻域上函数的对偶。
• 通过 $\pi$-进完备化构造分布代数的弱完备化 $\widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G})_\mathbf{Q}$。
• 通过伴随列映射将 $D^{(m)}(G)$ 与 $G$-不变算术微分算子代数相联系。
• 在形式旗流形 $X = \widehat{G/B}$ 上定义算术微分算子层 $\mathcal{D}^{(m)}_X$，并证明其作为 $\mathcal{A}^{(m)}_X$-模是凝聚的。
• 使用谱序列论证并依上同调度数归纳，证明对任意凝聚 $\mathcal{D}^{(m)}_X$-模 $\mathcal{M}$，全局上同调群 $H^k(X, \mathcal{M})$ 在 $D^{(m)}(G)^{\mathrm{op}}$ 上是有限生成的。
• 应用 $\pi$-进完备化引理，证明自然态射 $\widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}} / Z_K^+ \widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}} \to \Gamma(X, \widehat{\mathcal{D}}^{(m)}_{X,\mathbf{Q}})$ 是同构，从而证明了局部化定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $m$-PD 结构将经典分布代数推广到算术设置？
• RQ2 形式旗流形上算术微分算子层能否通过完备化分布代数的全局截面来描述？
• RQ3 形式旗流形上算术 $\mathcal{D}$-模的上同调与特征零下李代数上同调之间有何关系？
• RQ4 对半单群而言，$\mathcal{D}$-模的局部化定理如何扩展到 $p$-进算术设置？
• RQ5 特征 $p$ 下旗流形开子集的刚性上同调能否与算术 $\mathcal{D}$-模的上同调相关联？

主要发现

• 算术分布代数 $D^{(m)}(G)$ 同构于通过单位元的 $m$-PD 邻域对偶构造的 $G$-不变 $m$-阶算术微分算子代数。
• 在 $p$-进形式旗流形 $X = \widehat{G/B}$ 上，算术微分算子层 $\mathcal{D}^{(m)}_X$ 作为 $\mathcal{A}^{(m)}_X$-模是凝聚的。
• 通过归纳法与谱序列论证，对任意凝聚 $\mathcal{D}^{(m)}_X$-模 $\mathcal{M}$，全局上同调群 $H^k(X, \mathcal{M})$ 在 $D^{(m)}(G)^{\mathrm{op}}$ 上是有限生成的。
• 完备化分布代数 $\widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}} / Z_K^+ \widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}}$ 同构于全局截面 $\Gamma(X, \widehat{\mathcal{D}}^{(m)}_{X,\mathbf{Q}})$，从而确立了算术局部化定理。
• 在扭情形下，同构关系依然成立，其中 $Z_K^+$ 被 $Ker\theta_K$ 替代，表明局部化定理可推广至任意中心特征标。
• 该结果意味着特征 $p$ 下旗流形开子集的刚性上同调可通过形式旗流形上算术 $\mathcal{D}$-模的上同调来计算。