[论文解读] D-modules generated by rational powers of holomorphic functions

Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文研究了由全纯函数的有理幂生成的D-模的结构，重点关注伯恩斯坦-萨托多项式的根何时对应于此类D-模之间的非平凡差异。通过使用V-滤子和高斯-曼因联络，本文证明了伯恩斯坦-萨托多项式的根并不总是导致此类差异，并构造了一个非半单单值性的反例。该结果解决了关于米尔诺单值性与布里施科恩格拉廷上的高斯-曼因联络的残数指数之间关系的一个长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We prove some sufficient conditions in order that a root of the Bernstein-Sato polynomial contributes to a difference between certain D-modules generated by rational powers of a holomorphic function; for instance, this holds in the case of isolated singularities with semisimple Milnor monodromies. We then construct an example where a root does not contribute to a difference. This also solves an old open problem about the relation between the Milnor monodromy and the exponential of the residue of the Gauss-Manin connection on the saturation of the Brieskorn lattice. This shows that the structure of Brieskorn lattices can be more complicated than one might imagine.

研究动机与目标

• 确定伯恩斯坦-萨托多项式根何时对应于由全纯函数的有理幂生成的D-模之间的非平凡差异。
• 澄清米尔诺单值性与饱和布里施科恩格拉廷上高斯-曼因联络残数的指数之间的关系。
• 构造一个反例，其中伯恩斯坦-萨托多项式的根不导致此类差异，从而挑战布里施科恩格拉廷结构简单性的假设。
• 分析与D-模关联的分次部分上V-滤子、G-滤子以及幂零算子N作用之间的相互作用。

提出的方法

• 利用柏原和马尔格朗的V-滤子，将D-模 $M_f = (i_f)_*^{ ext{D}}\text{O}_X$ 分解为分次部分 $\mathrm{Gr}_V^\alpha M_f$。
• 在 $M_f^\beta = \mathrm{Gr}_V^\beta M_f$ 上应用G-滤子，以关联 $\mathcal{D}_X f^{-\alpha} / \mathcal{D}_X f^{-\alpha+1}$ 的结构与商模 $M_f^\beta / N M_f^\beta$ 的分次部分。
• 引入修正后的D-模 $\widetilde{M}_f^\beta$ 以处理 $\beta = 1$ 的情形，这对应于邻近循环到消失循环的过渡。
• 利用高斯-曼因联络以及 $N = -\partial_t t + \beta$ 在 $M_f^\beta$ 上的作用，分析单值性的若尔当代数标准型。
• 通过一个特定的反例，使用加权齐次函数 $f_u = x^{2a} + y^{2a} - x^{2b}y^{2b} + z^c - u x^{a+b-1}y^{b-1}z$，其中 $a,b,c$ 两两互质，并满足 $a > 2b > c$ 且 $\frac{1}{2a} > \frac{2}{c} - \frac{1}{b}$。
• 通过谱数计算和雅可比环中的泰勒展开，证明 $\mathrm{Gr}_V^{\beta_0} \widetilde{H}^{\prime\prime}_{f_u} \subset N \mathcal{G}^{\beta_0}$，其中 $\dim \mathcal{G}^{\beta_0} = 2$，$N^2 = 0$，且 $\dim \mathrm{Gr}_V^{\beta_0} \widetilde{H}^{\prime\prime}_{f_u} = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 伯恩斯坦-萨托多项式 $b_f(s)$ 的每个根 $-\alpha$ 是否都意味着非平凡差异 $\mathcal{D}_X f^{-\alpha} \neq \mathcal{D}_X f^{-\alpha+1}$？
• RQ2 在消失上同调上的单值性作用是否同构于饱和布里施科恩格拉廷的分次部分上 $e^{-2\pi i \partial_t t}$ 的作用？
• RQ3 布里施科恩格拉廷的结构是否可能比先前假设的更复杂，特别是在单值性非半单时？
• RQ4 在 $\widetilde{M}_f^\beta$ 上，幂零算子 $N$ 在何种条件下严格保持 $G$-滤子？

主要发现

• 伯恩斯坦-萨托多项式的根 $-\alpha$ 并不总是意味着 $\mathcal{D}_X f^{-\alpha} \neq \mathcal{D}_X f^{-\alpha+1}$，如反例 $f_u = x^{2a} + y^{2a} - x^{2b}y^{2b} + z^c - u x^{a+b-1}y^{b-1}z$ 在特定 $a,b,c$ 条件下所示。
• 该反例表现出 $\dim \mathcal{G}^{\beta_0} = 2$，$N^2 = 0$，且 $\dim \mathrm{Gr}_V^{\beta_0} \widetilde{H}^{\prime\prime}_{f_u} = 1$，因此 $\mathrm{Gr}_V^{\beta_0} \widetilde{H}^{\prime\prime}_{f_u} = N \mathcal{G}^{\beta_0} \subsetneq \mathcal{G}^{\beta_0}$，这意味着 $\mathrm{Gr}_G^0 M_{f_u}^\beta \neq 0$ 但 $\mathrm{Gr}_G^0 (M_{f_u}^\beta / N M_{f_u}^\beta) = 0$。
• 在反例中，米尔诺单值性 $T$ 与高斯-曼因联络残数的指数 $e^{-2\pi i \partial_t t}$ 在分次布里施科恩格拉廷上的作用不具有相同的若尔当代数标准型，从而解决了 [Sa1] 中的一个开放问题。
• 本文建立的结论是：对于 $(\beta,j) \neq (1,0)$，有 $\mathrm{Gr}_G^j (M_f^\beta / N M_f^\beta) \cong \mathrm{Gr}_G^j (\widetilde{M}_f^\beta / N \widetilde{M}_f^\beta)$，但在 $(1,0)$ 处不成立，原因在于涉及 $M_Z$ 和 $M_Z'$ 的非平凡核。
• 该结果表明，当单值性非半单时，布里施科恩格拉廷的结构可能比先前认为的更复杂。