[论文解读] D-modules on rigid analytic spaces III: Weak holonomicity and operations

Konstantin Ardakov, Andreas Bode+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文为紧致解析空间上的共可接受 $\wideparen{\mathcal{D}}$-模发展了一套维数理论，引入了类似于代数 $\mathcal{D}$-模中正则性的弱正则性概念。该文证明了这些模的伯恩斯坦不等式，建立了其在闭浸入和对偶下的稳定性，并表明可积联络的高阶直接像与局部上同调是共可接受且弱正则的，尽管存在无限维纤维和无限长模等病态现象。

ABSTRACT

We develop a dimension theory for coadmissible D-cap-modules on rigid analytic spaces and study those which are of minimal dimension, in analogy to the theory of holonomic D-modules in the algebraic setting. We discuss a number of pathologies contained in this subcategory (modules of infinite length, infinte-dimensional fibres). We prove stability results for closed immersions and the duality functor, and show that all higher direct images of integrable connections restricted to a Zariski open subspace are coadmissible of minimal dimension. It follows that the local cohomology sheaves $H^i_Z(\mathcal{M})$ with support in a closed analytic subset $Z$ of $X$ are also coadmissible of minimal dimension for any integrable connection $\mathcal{M}$ on $X$.

研究动机与目标

• 为紧致解析空间上的共可接受 $\wideparen{\mathcal{D}}$-模发展维数理论，推广代数 $\mathcal{D}$-模中正则性的概念。
• 定义并研究弱正则 $\wideparen{\mathcal{D}}$-模，即最小维数模，类比于代数情形下的正则模。
• 研究该范畴中的病态现象，如无限长模与无限维纤维，这些在代数理论中不会出现。
• 证明弱正则性在关键操作下的稳定性：闭浸入、对偶、高阶直接像与局部上同调函子。
• 建立可积联络的高阶直接像与局部上同调层是共可接受且弱正则的，将经典结果推广至解析情形。

提出的方法

• 通过将 Auslander 正则性条件放宽为 Auslander-Gorenstein 条件并要求自内射维数普遍有界，适应了 Fréchet–Stein 代数的同调维数理论。
• 通过 $d(M) = 2\dim X - j(M)$ 定义共可接受 $\wideparen{\mathcal{D}}(X)$-模 $M$ 的维数 $d(M)$，其中 $j(M)$ 是 $M$ 的同调阶，证明了伯恩斯坦不等式：对非零 $M$，有 $d(M) \geq \dim X$。
• 利用 $\wideparen{\mathcal{D}}(X)$ 是 $\mathcal{D}(X)$-模的忠实平坦模这一事实，将解析理论与代数理论联系起来。
• 应用沿 Zariski 开浸入的导出推出理论，表明对可积联络 $\mathcal{M}$，有 $\mathrm{R}^i j_* (\mathcal{M}|_U)$ 是共可接受且弱正则的。
• 应用局部上同调正合列与同构关系 $\underline{H}^i_Z(\mathcal{M}) \cong \mathrm{R}^{i-1}j_*(\mathcal{M}|_U)$（$i \geq 2$），推导出局部上同调层的弱正则性。
• 在可接受覆盖上使用 Čech 上同调计算 $\mathrm{R}^i j_*(\mathcal{M}|_U)(X)$，并应用最小维数模在上同调下的稳定性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏特征簇理论，能否为紧致解析空间上的共可接受 $\wideparen{\mathcal{D}}$-模定义有意义的维数与最小维数（弱正则性）概念？
• RQ2 在 Zariski 开浸入下，可积联络的高阶直接像 $\mathrm{R}^i j_*(\mathcal{M}|_U)$ 是否仍保持共可接受性与最小维数？
• RQ3 对于紧致解析空间 $X$ 中的可积联络 $\mathcal{M}$，在闭解析子集 $Z$ 支持下的局部上同调层 $\underline{H}^i_Z(\mathcal{M})$ 是否共可接受且弱正则？
• RQ4 在弱正则 $\wideparen{\mathcal{D}}$-模范畴中，会出现哪些在代数正则范畴中不存在的病态现象？
• RQ5 在解析情形下，弱正则性是否在对偶与闭浸入下保持不变？

主要发现

• 本文建立了共可接受 $\wideparen{\mathcal{D}}(X)$-模的伯恩斯坦不等式：对任意非零模 $M$，其维数满足 $d(M) \geq \dim X$，且等式成立当且仅当 $M$ 为弱正则模。
• 证明了对任意 Zariski 开浸入 $j:U\to X$ 与 $X$ 上的可积联络 $\mathcal{M}$，有 $\mathrm{R}^i j_*(\mathcal{M}|_U)$ 是 $\wideparen{\mathcal{D}}_X$-模且维数最小，将经典结果推广至解析情形。
• 通过同构关系 $\underline{H}^i_Z(\mathcal{M}) \cong \mathrm{R}^{i-1}j_*(\mathcal{M}|_U)$，证明了对任意闭解析子集 $Z$ 与光滑紧致解析空间 $X$ 上的可积联络 $\mathcal{M}$，局部上同调层 $\underline{H}^i_Z(\mathcal{M})$ 是共可接受且弱正则的。
• 弱正则 $\wideparen{\mathcal{D}}$-模范畴包含代数情形中不存在的病态现象，如无限长模与无限维纤维，表明性质 $(*)$ 与 $(**)$ 的类比无法刻画弱正则性。
• 对偶函子保持弱正则性，且弱正则模范畴 $\mathcal{C}_X^{\mathrm{wh}}$ 是阿贝尔范畴，确保其在核与余核下稳定。
• 自然映射 $\theta: \wideparen{\mathcal{D}}(X) \otimes_{\mathcal{D}(X)} M[f^{-1}] \to \mathcal{M}(U)$ 是共可接受 $\wideparen{\mathcal{D}}(X)$-模之间的满射，该映射被用于将代数情形下的维数界转移到解析情形。