[论文解读] D-modules on Spaces of Rational Maps and on other Generic Data

Jonathan Barlev|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文建立了三种不同的点函子构造方法之间的等价性——这些方法最初由德林费尔德提出——用于代数曲线上通用定义的几何数据的模空间，特别是有理映射和 $B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$ 类型的商。它证明了这些构造在 fppf 拓扑下产生等价的层，从而使得相应的 D-模层和 D-模不变量类别也等价，并构建了 $\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}$ 的几何实现，其具有到 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$ 的全纯嵌入 $!$-拉回，为几何朗兰兹纲领提供了类比。

ABSTRACT

Let X be an algebraic curve. We study the problem of parametrizing geometric data over X, which is only generically defined. E.g., parametrizing generically defined (aka rational) maps from X to a fixed target scheme Y. There are three methods for constructing functors of points for such moduli problems (all originally due to Drinfeld), and we show that the resulting functors are equivalent in the fppf Grothendieck topology. As an application, we obtain three presentations for the category of D-modules "on" B (K) \G (A) /G (O), and we combine results about this category coming from the different presentations.

研究动机与目标

• 统一三种对代数曲线上通用定义的几何数据（特别是有理映射和 $B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$）的点函子定义的先验上不同的方法。
• 证明这三种构造在 fppf 格罗滕迪克拓扑下产生等价的函子，从而确保其关联的拟相干层与 D-模层类别的等价性。
• 通过构造一个参数化 $G$-丛带有通用 $B$-约化的几何空间 $\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}$，将等价性应用于几何朗兰兹纲领。
• 建立从 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$ 到 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})})$ 的全纯 $!$-拉回函子，几何地实现朗兰兹函子性映射。

提出的方法

• 使用 Ran 空间方法来参数化从 $S \to X$ 的态射的有限非空子集，构造函子 $\mathcal{Ran}_X: \mathfrak{Aff}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Gpd}_\infty$。
• 应用格罗滕迪克非直化构造，证明映射 $\{n\} \twoheadrightarrow F$ 的图的余上确界是收缩的，从而证明 $\mathcal{Ran}_X(S)$ 是一个集合。
• 证明通过拟映射、Ran 空间和德林费尔德原始方案这三种构造，对通用数据的点函子在 fppf 拓扑下是等价的。
• 利用同伦代数方法，证明沿包含映射 $j: \mathcal{S}_c^0 \to C^0$ 的右凯兰扩张是层，其依据是纤维的收缩性。
• 在 D-模的导出范畴中应用 $!$-拉回与 $!$-前推伴随关系，关联 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})})$ 与 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$。
• 利用 fppf 层的等价性，推导出 D-模层类别的等价性及其导出不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 fppf 拓扑下，对曲线上通用定义的映射——通过拟映射、Ran 空间和德林费尔德原始方案——这三种不同的点函子构造是否等价？
• RQ2 空间 $B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$ 能否被几何地实现为带有通用 $B$-约化的 $G$-丛的模空间？
• RQ3 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})})$ 到 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$ 的 $!$-拉回函子是否诱导出全纯嵌入？
• RQ4 在这三种构造下，这些空间上的 D-模层类别的导出不变量（例如同调群）之间有何关系？
• RQ5 沿包含映射 $j: \mathcal{S}_c^0 \to C^0$ 的层 $\mathcal{F}_0$ 的右凯兰扩张是否为层？这对其整体截面有何含义？

主要发现

• 对曲线上通用定义的数据的三种点函子构造在 fppf 格罗滕迪克拓扑下是等价的，从而确保其关联的拟相干层与 D-模层类别的等价性。
• 参数化带有通用 $B$-约化的 $G$-丛的空间 $\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}$ 作为一个几何对象存在，其 D-模层类别通过 $!$-拉回与 $\mathrm{Bun}_G$ 的 D-模层类别等价。
• $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}) \to \mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$ 的 $!$-拉回函子是全纯的，几何地实现了从 $B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$ 到 $G(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$ 的朗兰兹函子性映射。
• 沿 $j: \mathcal{S}_c^0 \to C^0$ 的层 $\mathcal{F}_0$ 的右凯兰扩张是层，因为该图的同伦纤维由于纤维范畴中存在终对象而收缩。
• $\mathcal{Ran}_X(S)$ 同伦等价于 $\mathrm{Hom}(S,X)$ 的有限非空子集的集合，该结论通过证明映射 $\{n\} \twoheadrightarrow F$ 的余上确界是收缩的而得证。
• $\mathrm{Surj}(\{n\}, F) \to \{F \subseteq \mathrm{Hom}(S,X)\}$ 的图的同伦纤维是收缩的，因为其纤维范畴具有终对象，从而保证余上确界为一个集合。