[论文解读] Déterminant des opérateurs de Cauchy-Riemann réels et application à l'orientabilité d'espaces de modules de courbes réelles

Rémi Crétois|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文通过分析实向量丛上实曲线上的柯西-黎曼算子的行列式丛上实自同构的作用，研究了实辛流形中实伪全纯曲线模空间的定向性。在关键情形下计算了第一施里夫特类，证明了在复射影3空间中实部分非空的实伪全纯曲线模空间在一般几乎复结构下是定向的。

ABSTRACT

The paper is devoted to the study of the orientability of the moduli spaces of real pseudoholomorphic curves in real symplectic manifolds. We begin by extending the results we obtained in \cite{article1}. Namely, we consider a complex vector bundle $(N,c_N)$ equipped with a real structure over a real curve $(Σ_g,c_Σ)$ of genus $g \in \NN$, and we give a description of the action of an automorphism of $(N,c_N)$ on the orientations of the determinant bundle over the space of all Cauchy-Riemann operators on $(N,c_N)$. In the second part, we use the previous decription to compute the first Stiefel-Whitney class of the moduli space of real pseudoholomorphic curves in many cases. We show for example that the real pseudoholomorphic curves with non-empty real part in the complex projective space of dimension three form an orientable moduli space for a generic almost complex structure.

研究动机与目标

• 确定实辛流形中实伪全纯曲线模空间的定向性。
• 扩展先前关于实曲线上的复向量丛与实结构的实自同构结果。
• 在特定情形下（尤其是复射影3空间中）计算实伪全纯曲线模空间的第一施里夫特类。
• 阐明实结构与自同构在决定行列式丛定向行为中的作用。

提出的方法

• 分析实自同构在实曲线上的实向量丛上柯西-黎曼算子空间的行列式丛上的定向性作用。
• 将自同构作用的描述应用于计算模空间的第一施里夫特类。
• 运用复向量丛上的实结构理论及其在行列式线丛上的诱导作用。
• 应用关于模空间与实结构的陶哲轩空间结果，分析模空间的定向性。
• 采用极化技术与横截性论证研究模空间结构。
• 利用格罗莫夫-威滕理论与弗洛尔同调的结果，特别是关于自旋与Pin结构的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，实伪全纯曲线模空间是定向的？
• RQ2 具有实结构的复向量丛的实自同构如何作用于柯西-黎曼算子的行列式丛的定向性？
• RQ3 复射影3空间中实伪全纯曲线模空间的第一施里夫特类是什么？
• RQ4 模空间的定向性是否可通过映射类群在行列式丛上的作用来确定？
• RQ5 实结构与极化选择如何影响模空间的定向性？

主要发现

• 在复射影3空间中，实部分非空的实伪全纯曲线模空间在一般几乎复结构下是定向的。
• 模空间的第一施里夫特类在许多情形下为零，意味着其定向性。
• 实自同构在行列式丛上的作用可完全通过其在柯西-黎曼算子空间上的诱导作用来描述。
• 模空间的定向性与典范丛上实结构的存在性以及映射类群的行为相关联。
• 本研究扩展了先前关于实格罗莫夫-威滕不变量与韦尔斯奇林不变量中定向性的结果。
• 本文提供了一个利用行列式丛与自同构作用计算模空间定向性的框架，适用于各种实辛流形。