[论文解读] Dark Energy and the Schwarzian Derivative

G. W. Gibbons|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 28被引用 17

一句话总结

本文表明，在时间重参数化或Weyl共形重标度下，暗能量密度——特别是宇宙学常数——会通过增加一个施瓦兹导数项而发生变换，除非该变换属于SL(2,R)。它建立了具有恒定与时变暗能量的理论之间的等价性，并表明施瓦兹张量控制着广义相对论中在共形框架变换下（特别是在弗里德曼-勒梅特宇宙学中）暗能量的变化方式。

ABSTRACT

Theories with a time dependent Newton's constant admit two natural measures of time : atomic and astronomical. Temporal parametrisation by SL(2, R) transformations gives rise to an equivalence between theories with different time dependence's, including the special Case of no time dependence, a fact noticed by Mestschersky, Vinti and by Lynden-Bell. I point out that theories with time dependent dark energy densities admit three natural measures of time : atomic and astronomical and de Sitter related by temporal re-parametrizations and I extend Mestschersky-Vinti-Lynden-Bell's result to cover this more general situation. I find a consequent equivalence between theories in which the density of dark energy is constant in time and in which it varies with time. Strikingly a time dependent cosmological constant changes by the addition of a Schwarzian derivative term unless the temporal reparameterization belongs to SL(2, R). In General Relativity one may introduce a Schwarzian tensor to investigate how the notion of dark energy changes under changes of conformal frame. The general theory is illustrated in the case of Friedmann-Lemaitre metrics.

研究动机与目标

• 探讨时间依赖的牛顿常数和暗能量理论中时间重参数化的作用。
• 将Mestschersky-Vinti-Lynden-Bell在原子时间、天文时间与德西特时间度量之间的等价性扩展至包含暗能量动力学。
• 研究在时空度量的Weyl共形重标度下，宇宙学常数如何变换，特别是在暗能量变化的背景下。
• 在弗里德曼-勒梅特度量中，建立宇宙学标量（哈勃参数、减速参数、jerk）与施瓦兹导数之间的联系。
• 通过施瓦兹结构，提出3+1维共形场论与暗能量之间更深层的联系。

提出的方法

• 通过SL(2,R)变换使用时间重参数化，将宇宙学模型中的不同时间度量（原子时间、天文时间、德西特时间）联系起来。
• 应用施瓦兹导数来描述有效暗能量密度如何在时间重参数化下发生变化，特别是当宇宙学常数不保持不变时。
• 在广义相对论中引入一个施瓦兹张量，以描述在度量的Weyl共形重标度下宇宙学常数的变换。
• 在共形变换下分析弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度量，推导出修正的弗里德曼方程和雷乔德赫里方程。
• 推导出将施瓦兹导数{a,t}与宇宙学标量（哈勃参数H、减速参数q和jerk j）联系起来的恒等式。
• 使用共形变换gμν → g̃μν = Ω²(φ)gμν在Jordan、爱因斯坦和德西特共形框架之间切换，分析G和Λ的变换方式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在关联原子时间、天文时间与德西特时间的时间重参数化下，有效暗能量密度如何变换？
• RQ2 当时间坐标被重新定义时，施瓦兹导数在宇宙学常数变换中起什么作用？
• RQ3 在时空度量的Weyl共形重标度下，宇宙学常数如何变化？在这种背景下，施瓦兹张量有何重要意义？
• RQ4 是否存在具有恒定与时变暗能量密度的模型之间的几何或动力学等价性？
• RQ5 施瓦兹导数能否与ΛCDM模型中的可观测宇宙学标量（如jerk和减速参数）相联系？

主要发现

• 在一般的时间重参数化下，宇宙学常数通过增加一个施瓦兹导数项而发生变换，除非该变换属于SL(2,R)，此时常数的形式保持不变。
• 在适当的時間重參數化下，時變暗能量密度與恆定暗能量密度在物理上是等價的，從而建立了變動與恆定暗能量模型之間的新對偶性。
• 施瓦兹導數{a,t}與宇宙學標量之間存在恆等式{a,t} = H²(j - ³⁄₂q²)，將幾何時間演化與可觀測的運動學量聯繫起來。
• 在共形重標度gμν → Ω²gμν下，有效暗能量密度的變換包含一個涉及施瓦兹張量的項，該張量控制著不同共形框架之間Λ的變化。
• 在德西特共形框架中，即使宇宙學常數保持不變，暗能量密度仍可能因共形因子而變化，除非變換屬於SL(2,R)。
• 在共形重標度下的修正弗里德曼方程包含一個與共形因子φ的二階導數成正比的項，表明有效能量密度取決於時間重定義的曲率。