[论文解读] Darmon's points and quaternionic Shimura varieties

Jérôme Gärtner|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文将达蒙（Darmon）关于斯特ark-希格尔点（Stark-Heegner points）的猜想构造推广至非ATR（反扭）二次扩张，利用四元数希格鲁瓦（quaternionic Shimura varieties）建立阿贝尔-雅可比映射，通过全纯微分形式，并猜想一个类似格罗斯-科亨-扎吉尔（Gross-Kohnen-Zagier）的公式，将L函数的特殊值与这些点的高联系起来。主要贡献在于在自 adelic 且非CM 的设定下，对达蒙点提出了一个改进的格罗斯-扎吉尔（Gross-Zagier）猜想。

ABSTRACT

In this paper, we generalize a conjecture due to Darmon and Logan in an adelic setting. We study the relation between our construction and Kudla's works on cycles on orthogonal Shimura varieties. This relation allows us to conjecture a Gross-Kohnen-Zagier theorem for Darmon's points.

研究动机与目标

• 将达蒙（Darmon）关于斯特ark-希格尔点的猜想构造从ATR（反扭）条件推广，允许一般二次扩张K/F，其中K非CM。
• 通过雅克-兰格斯（Jacquet-Langlands）对应关系，利用与希尔伯特模形式相关的四元数希格鲁瓦（quaternionic Shimura varieties）上的全纯微分形式，定义广义的阿贝尔-雅可比映射。
• 提出一个类似格罗斯-扎吉尔（Gross-Zagier）的公式，将达蒙点的高与Rankin-Selberg L函数的特殊值联系起来。
• 与库达（Kudla）关于正交希格鲁瓦（orthogonal Shimura varieties）上周期的理论建立联系，为该构造提供几何解释。
• 提出一个猜想，将达蒙点的算术性质与半整权希尔伯特模形式的傅里叶系数联系起来。

提出的方法

• 构造一个与全实数域F、二次扩张K/F及在r个实位处分裂、在d−r个实位处分歧的四元数代数B/F相关的四元数希格鲁瓦（quaternionic Shimura variety）Sh_H(G,X)。
• 通过(K⊗R)^×_+/(F⊗R)^×在(C\R)^r上的作用，在Sh_H(G,X)(C)上定义一个实周期T_b（维数为r−1），并将其上移到一个复r周期Δ_b，其边界与T_b成比例。
• 利用马茨什塔姆（Matsushima）与志村（Shimura）定理，确保存在这样的周期Δ_b，满足∂Δ_b ∈ Z·T_b。
• 通过雅克-兰格斯（Jacquet-Langlands）对应关系，将一个在B上的希尔伯特模形式φ关联到一个r次全纯微分形式ω_φ。
• 引入(K⊗R)^×_+/(F⊗R)^×的连通分支上的一个特征标β，以定义一个修正的微分形式ω_φ^β，其周期在猜想中与E的内森（Néron）格的相似格同构。
• 定义一个点P_b^β ∈ E(C)，为复数∫_{Δ_b} ω_φ^β在魏尔斯特拉斯统一化（Weierstrass uniformization）下的像，且该定义与Δ_b的选择无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 达蒙（Darmon）关于斯特ark-希格尔点的构造能否超越ATR条件，从而去除狭理想类数为1和ATR的假设？
• RQ2 四元数希格鲁瓦（quaternionic Shimura varieties）在全实数域上椭圆曲线特殊点构造中的精确几何与算术角色是什么？
• RQ3 微分形式ω_φ^β的周期如何与椭圆曲线E/F的内森（Néron）格相关？
• RQ4 是否存在一个类似格罗斯-科亨-扎吉尔（Gross-Kohnen-Zagier）的公式，将达蒙点的高与L函数的特殊值联系起来？
• RQ5 达蒙点的算术性质能否与半整权希尔伯特模形式的傅里叶系数联系起来？

主要发现

• 该构造定义了一个点P_b^β ∈ E(C)，为复数∫_{Δ_b} ω_φ^β在魏尔斯特拉斯统一化下的像，且该定义与Δ_b的选择无关。
• 本文猜想P_b^β属于E(K^{ab})，并在伽罗瓦作用下按β(a_∞)变换，推广了达蒙原始猜想。
• 提出一个猜想的格罗斯-扎吉尔（Gross-Zagier）公式，将P_b^β的高与中心值L'(π×χ, 1/2)联系起来，其中χ为一个Hecke特征标。
• 本文建立了与库达（Kudla）关于正交希格鲁瓦上周期理论的联系，暗示该构造具有几何解释。
• 对于秩1的椭圆曲线，测量达蒙点大小的整数[P_t]在猜想中与权为3/2的希尔伯特模形式的傅里叶系数成比例。
• 本文猜想[P_t]与L(E_{-D_0t}, 1)的平方根成比例，类似于格罗斯-科亨-扎吉尔定理。